成人认识和理解这个世界的方式，是儿童难以理解和跟随的。

传统教育里，“教”很大程度上是老师把知识这个“包袱”给孩子，“学”很大程度上是孩子通过记忆把知识这个“包袱”背上。一直背一直背，直到孩子自己成长、“吸收”而获得相应的理解力去“消化”它(知识这个包袱)。为了背的时间长，别在消化完之前把包袱里的东西给抖落掉了，孩子们就必须不断地复习、不断地复习，以加强记忆。

在蒙特梭利教育的有准备的环境中，情况则完全不同：我们把精心设计的材料(material)提供给孩子，这些附加了“教”和“学”功能的“材料”，也称为教具。

研究过蒙特梭利教育历史的人就会知道，最初蒙特梭利本人是和有挑战的孩子一起工作。这段经历给了她大量的观察儿童学习过程的机会，于是她也开始从孩子的角度来思考儿童学习的意义以及儿童学习的途径。

正因为儿童没办法像成人一样直接吸收抽象的知识，所以她设计和制作了一系列教具。她发现藉由教具的协助，儿童特别是有挑战的儿童（有特殊需求的儿童），有能力以自己的节奏来吸收和内化知识。

之后她把观察扩大到正常的3到6岁阶段的儿童。同样的，这个阶段的儿童依然没有发展出足够强大的想象、抽象和推理能力，依然没有办法跟上成人的思维和传授抽象知识的速度。

但是，这个阶段的儿童会通过经验和和操作来学习。他们通过自己的手来发展大脑，也因此，他们的工作状态一直表现得非常积极主动。手的一步步操作使得步骤变得清晰而有逻辑性，同时也给大脑充分的时间思考，给大脑充分的时间对知识吸收和内化。

我们来思考一下，从学习的角度讲，对于3-6的孩子，为什么手可以作为大脑的小助手，而语言不可以呢？

对，因为孩子还处于一个以自我为中心的世界，一个相当“具体”的世界。语言对他们而言，已经相当抽象。而他们对语言这一工具的使用和理解，还没娴熟到足以使其作为工具来帮助自己学习和理解知识这一更加抽象的东西。换句话说，对于3-6的孩子，语言本身都还在学习的阶段，因此即使你以语言的方式提供给他们知识，那很大程度上不过是从成人角度上“提供”了，孩子接不接得住，则完全是另外一码事。

关键是，作为成人你还很难判断/知道他/她接住了多少。

而如果孩子是通过自己的手对具体的教具进行具体的操作来学习，那他们就是在从现实中学习。也只有这样，通过观察你就能一目了然地看出来他掌握了多少、掌握的如何。

下面是从Camillo Grazzini《心理代数学》的意文文稿中摘取的一段引文，从这里我们就可以看出为什么教具才是蒙特梭利教室中真正的“老师”（这本书首先以意大利文著成，后来被他自己翻译成英文，进行删减后出版。如果我没记错，英文版中已经找不到这段话。所以为便于理解，这里把英文版先附上）。

经过手的操作、教具的帮忙，等时候到了、孩子真正理解了要学的知识点，他就不会再对操作这份教具感兴趣了。因为一旦他们理解了，他们就想继续学习更深的内容。这就好像飞机起飞，起飞前飞机需要依靠起落架在跑道上滑行一段时间，但是一旦飞机飞离地面飞翔在空中，飞机就不再需要起落架的支持。

这里有一个提醒：虽然教具是为了方便孩子发展自己的能力而设计，我们作为成人也总是尽力在合适的时机引入他们需要的教具和做示范，但是如果我们引入和做示范的时机不对，比如如果太早或太迟，那么教具便会有沦为教学工具的风险。

还有一个提醒：设计和投放教具的初衷是为了是孩子们在有准备的环境中自由学习和探索而不依赖于成人，到那时如果老师没有充分理解这一点甚至理解错了，那就有可能搞错孩子和教具之间的关系。孩子有选择一项工作进行工作的自由，也有继续这项工作直到他满意为止的自由，更有随时把工作还回去的自由。孩子有和他人一起工作的自由，也有边工作边交谈的自由。更重要的是，孩子在工作中有犯错误的自由。这点非常非常重要，正是错误带来思考和改正的机会，正是错误带给人学习和成长的机会。

虽然孩子具有数学性心智，然而，数学作为最抽象的学科之一，相关的工作仍然非常依赖于教具。一个非常典型的例子是平方、开平方或是立方、开立方。这些工作非常复杂，孩子们非常容易犯错，可也正是我们拥有这些有针对性的、精心设计的教具，孩子们才有机会从教具本身得到错误控制的指导，才有自己发现错误、思考、学习进而改正错误并且进步的机会。

在知识传授方面，正因为教室里有了教具的存在，老师和学生不再是由上至下我教你听的上下级关系，而变成了 老师、教具、学生三者的平等关系。学生的学习的侧重点也从接收-->理解转变为模仿-->思考-->创新。教具自带的纠错功能(control-of-error)以及教具困难分离(difficulty isolation)的特性，把学习的过程细化、学习的深度延长、学习的广度拓展，使得学习过程本身比得出结果这一事件更加深入和重要。

另一个点就是教具/工作之间的关联性。一份教具的操作/工作会为另一份教具/工作做特定方面的准备。正是这种关联性将同一学科的知识点乃至不同学科的知识点串起来成为一张大网，或是像潘多拉星球上的那种所有植物的根都在地下紧密连接的森林。

还是举平方或者开方的例子。我们把平方或者开方的教具交到孩子手中，意味着在这之前他们已经完成并掌握了加减乘除、知道了乘方的意义等等等等，意味着他们已经完全掌握所有必备的知识点并做足了准备工作。

知识储备。

教具支持。

教学难点分离，一次一个难点

这三点缺一不可。

仍然是开平方根的例子。

在这一工作中，孩子会先了解怎样求解根数字位数是1位的平方根，掌握之后才会进入求解位数是2的平方根的工作。1位根我们用的教具是个位除法板，因为最大的一位根(9)所对应的平方数(81)没有超过除法板的限制。而转向2位根的时候，除法板就不够用了，这时我们就会带孩子去使用十进制的教具，同时提醒他们思考十进制中的数阶和开方工作的关系。之后，我们会引导孩子去思考十进制教具的限制在哪里、然后带孩子转去用钉桩板来突破这一限制并对求根过程进行符号化的思考。掌握2位根使用钉桩板的解法以及符号化的规则后，孩子们便具备自己延伸并泛化所学知识的能力，自己尝试使用钉桩板去求解3位或者4位根的开方问题。在这些步骤中，我们还会适时引导孩子了解如何去确定根的位数、如何将具体的教具操作迁移到纸上成为依靠思维和书写的抽象工作。

在使用钉桩板延伸探索的过程中，孩子可以依据参考平方板(The guide square boards)上的颜色模式来自查自纠，确保自己的求根工作顺利进行。因为如果他们钉桩板上出现了错误，那么他们得到的颜色模式就和参考平方板上的不同。这时候他们就需要去思考到底是哪里出问题、为什么会出现这样的问题。

在开方工作的教学中还有一次“解法转换”的过程。刚开始孩子们接触到的是最直观最容易想到的解法，亦即逐阶开方。因为逐阶开方的方法每次只引入一位数阶，孩子每次都会在最初的“方”形及其延展方形上工作。虽然这种方法教具操作过程简单，但是孩子却很难将操作过程迁移到纸上工作的抽象思考阶段。我们的最终目的还是摆脱教具，因此我们会在合适的时机引入第二种解法。这种新的解法拓展了数位的限制，在钉桩板上的视觉展示时，孩子会每次在当前的“方”形上工作，直至他们最终完全懂得了求解规律，并能够自如地拓展解法到任意位数方根的纸上求解过程。

到这一步，孩子已经对这一工作进行了非常多的重复并且也解决过了非常多的特殊开放问题，在这“漫长”的从0到1的过程中，孩子展现相当的专注以及基于这种专注的最大化努力。

伴随着孩子的一路成长，这一切的一切，都离不开教具的适时出现、全程支持和完美谢幕。

回到记忆和数学性心智的话题。

理解、推理、记忆、兴趣，在有准备的蒙特梭利环境中，无不由教具来承载。

当我们谈及兴趣，我们会发现，兴趣因为孩子年龄的不同会有很大差别，也跟孩子在年龄下的敏感期有关。如果孩子显露出一个相当强的兴趣点，作为成人我们会看到孩子花费的努力或者在某一项工作/教具（或这一知识点相关的工作/教具）上，他/她会重复很多次。

教具“解放”了孩子的记忆。孩子在“死记硬背”上花费的时间，更多地用于理解和探索。

从这个意义上说，是“教具”这个脚手架(Scaffold)，替孩子背起了包袱（知识），而且随叫随到。

最后的最后，依然要提醒一句——

只有当成人仅仅提供必要支持时，孩子才会付出最大的努力去工作。而“具体”总是和动手操作相联系，从具体到抽象也就意味着从操作到理解的过程。