定点数的表示方法 |
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计算机中数值的表示有两种形式,一是定点数(Fixed-point Number),二是浮点数(Floating-point Number)。 1.定点数的表示形式定点数指小数点在数中位置固定不变的数。定点数分为定点整数和定点小数,由于小数点位置固定不变,所以存储时小数点不进行存储,按照约定的位置计算数值。原理上讲,小数点的位置可以位于任何位置,但通常将定点数表示成纯小数或纯整数。 假设以机器字长n位表示定点数,从右至左,从低位到高位分别为x1,x2,x3…xn-1,xn,其中xn取值0和1分别表示正号和负号。如此,对于任意一个定点数x=xnxn-1…x2x1,在定点机器中可表示为: 如果x表示的是纯小数,那么小数点位于xn与xn-1之间,如果x表示的是纯整数,那么小数点位于x1的右边。 2.定点数的原码、反码与补码定点数是我们日常生活中使用的数,比如十进制定点正整数5310531053_{10},二进制表示为11010121101012110101_2,我们看不到小数点,但可以认为小数点在数值最后一位的后面,省略不写。二进制11010121101012110101_2即为5310531053_{10}原码。对于负整数的表示,由最高位符号位为1表示负数,假如使用8位来表示−5310−5310-53_{10},那么-53的原码为10110101210110101210110101_2。实际上,计算机对定点数的存储采用补码的形式,原码到补码的转换规则如下: 正数:原码=反码=补码 负数: 反码=原码符号位为1不变,其它位取反 补码=反码+1需要注意的是,定点小数的补码由反码加1,这个“1”是加在小数部分的最后一位。 以8位为例,53与-53的原码、反码与补码具体表示如下: [53]原=[53]反=[53]补=00110101 [-53]原=101101012 [-53]反=110010102 [-53]补=110010112负整数的补码与原码不同,为何计算机中负整数的补码计算规则采用上述方式呢?因为计算机为了便于运算,将减法变为加法,才将整数以补码的形式存储。以时钟为例,假设现在1点,时钟为4点,将时钟矫正有两种方式,一是将时针后退4-1=3格;二是将时针向前拨12-3=9格。由此可见,减3和加9是等价的,因为9是(-3)对12的补码,数学公式为: -3=+9 (mod 12)上式在数学上为同余式,mod 12表示12是模数。计算机的中以32 bits有符号整型数值为例,除去一个符号位,数值位共31位,那么模是2^31。 对于定点数,由补码转换为十进制数值的规则如下: 十进制数值=(-1)*符号位*符号位位权+其它位*其它位权根据上面的转换规则,正整数补码00110101200110101200110101_2,转换为十进制数值过程如下: =(-1)*0*27 + 1*2^5 + 1*2^4 + 0*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 32 + 16 + 4 + 1 = 53对于负整数−5310−5310-53_{10}的补码11001011211001011211001011_2转为−5310−5310-53_{10}的过程如下: (-1)*1*2^7+1*2^6+0*2^5+0*2^4+1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0 =-128+64+8+2+1 =-53当把53除以2时,得到的结果是26.5,此时26.5为十进制定点小数,转换为二进制为11010.1211010.1211010.1_2。类似于定点二进制整数转换为十进制整数,根据每个比特位的位权,同样可以将定点二进制小数转换为十进制小数,转换过程如下: = 1*2^4 + 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0 + 1*2^-1 = 16 + 8 + 2 + 0.5 = 26.53.定点小数注意事项对于定点小数的存储,实际上,计算机不存储小数点,但小数点的位置必须知道,不然计算机无法知道真实数值。计算机作何知道小数点的位置呢?那么就需要有一个定点小数的规范。假设机器字长8 bits,我们规定从左至右,第一位为符号位,接着后5位表示定点小数的整数部分,后两位表示定点小数的小数部分。那么26.51026.51026.5_{10}的实际存储形式为01101010。由于对定点小数并无统一的规范,且数值表示的范围和精度有限,所以普通计算机对于小数的表示采用浮点数形式,C/C++中也没有定点小数类型,一般使用单精度浮点数float和双精度浮点数double来表示小数。 参考文献[1]Introduction to Fixed Point Number Representation [2]计算机组成原理第四版.白中英 |
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