卷积，是一个强有力的数学工具，在计算机领域中有很多非常不错的运用，能产生很多意想不到的效果和输出。

数学上，其连续函数的解析式写作：

F ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( x − τ ) d τ F(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(x-\tau) d\tau F(x)=∫−∞∞​f(τ)g(x−τ)dτ

而离散形为：

F ( x ) = ∑ τ = 0 N f ( τ ) g ( x − τ ) F(x) = \sum_{\tau = 0}^{N} f(\tau) g(x-\tau) F(x)=τ=0∑N​f(τ)g(x−τ)

其本质，表示如下一个操作1： 通常情况下， f ( τ ) f(\tau) f(τ) 表示被积函数，而 g ( x − τ ) g(x-\tau) g(x−τ) 表示卷积核函数。这里多说一句，之所以不使用 f ( x ) f(x) f(x) 表示原函数而用 f ( τ ) f(\tau) f(τ) ，而且强调 f ( τ ) f(\tau) f(τ) 是被积函数，是因为 f ( x ) f(x) f(x) 与 f ( τ ) f(\tau) f(τ) 之间还存在着如下关系：

f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) d τ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) d \tau f(x)=∫−∞∞​f(τ)dτ

这是因为这里面多了一个滑动的概念，卷积核函数的大小不一定跟原函数一致，通常情况下，在滑动计算过程中，卷积核函数一次只处理原函数的一部分。 τ \tau τ 在某些教科书里，通常被称为一个与时间相关的变量。但你其实只需要理解， τ \tau τ 其实是 x x x 的一个，连续地包含了一定数量元素的子集。

卷积运算公式最好你能了解一下，虽然说写程序可能一辈子都用不到卷积的运算公式，但没准在论文里，或者某些考试的卷子上会出现这些公式。

x ( t ) ∗ h ( t ) = h ( t ) ∗ x ( t ) x(t)*h(t) = h(t)*x(t) x(t)∗h(t)=h(t)∗x(t)

x ( t ) ∗ [ g ( t ) + h ( t ) ] = x ( t ) ∗ g ( t ) + x ( t ) ∗ h ( t ) x(t)*[g(t)+h(t)] = x(t)*g(t)+x(t)*h(t) x(t)∗[g(t)+h(t)]=x(t)∗g(t)+x(t)∗h(t)

[ x ( t ) ∗ g ( t ) ] ∗ h ( t ) = x ( t ) ∗ [ g ( t ) ∗ h ( t ) ] [x(t)*g(t)]*h(t) = x(t)*[g(t)*h(t)] [x(t)∗g(t)]∗h(t)=x(t)∗[g(t)∗h(t)]

a [ x ( t ) ∗ h ( t ) ] = [ a x ( t ) ] ∗ h ( t ) = x ( t ) ∗ [ a h ( t ) ] a[x(t)*h(t)]=[ax(t)]*h(t)=x(t)*[ah(t)] a[x(t)∗h(t)]=[ax(t)]∗h(t)=x(t)∗[ah(t)]

卷积核的选取，我个人认为是卷积这种数学工具最重要的部分。因为对于做工程，或者做其他研究，一旦遇上需要使用卷积的部分，增强或者平滑某种信号，亦或者需要从原始信号中提取某种特征，通常意味着需要使用不同的卷积核。

对于数字图像来说，卷积核通常有这些类型，比如平滑（模糊）卷积核，锐化（增强）卷积核，以及边缘卷积核等。

卷积核函数有时会被称为卷积算子，即一个函数空间到函数空间上的映射。从我个人的理解看，他们只是名称叫法不一样，就类似于一个人的昵称、姓名、绰号一类，也就是所谓函数本尊。

另外，根据这类积分函数的特点，卷积核的大小其实是没有固定的规定。对于图像来说，常用的卷积核大小为 3 × 3 3 \times 3 3×3，但根据需要你也可以定义别的大小 4 × 4 4 \times 4 4×4， 5 × 5 5 \times 5 5×5。

3 × 3 3 \times 3 3×3 之所以比较常见，这通常是差分形式所决定的。

例如，对于拉普拉斯算子来说，其 3 × 3 3 \times 3 3×3 的数值通常如下：

[ 0 1 0 1 − 4 1 0 1 0 ] \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} ⎣⎡​010​1−41​010​⎦⎤​

之所以是这些特定的数值，并非心血来潮，而是根据拉普拉斯的中间差分的差分形式计算后得出

∂ 2 ∂ x 2 ≈ f ( x + 1 , y ) − 2 f ( x , y ) + f ( x − 1 , y ) \frac{\partial^2}{\partial x^2} \approx f(x+1, y) - 2f(x, y) + f(x-1, y) ∂x2∂2​≈f(x+1,y)−2f(x,y)+f(x−1,y) ∂ 2 ∂ y 2 ≈ f ( x , y + 1 ) − 2 f ( x , y ) + f ( x , y − 1 ) \frac{\partial^2}{\partial y^2} \approx f(x, y+1) - 2f(x, y) + f(x, y-1) ∂y2∂2​≈f(x,y+1)−2f(x,y)+f(x,y−1)

即

▽ 2 f ( x ) ≈ f ( x + 1 , y ) + f ( x − 1 , y ) + f ( x , y + 1 ) + f ( x , y − 1 ) − 4 f ( x , y ) \triangledown^2f(x) \approx f(x+1, y) + f(x-1, y) + f(x, y+1) + f(x, y-1) - 4f(x, y) ▽2f(x)≈f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)

也就是说，这里的拉普拉斯算子的运算矩阵的每一个元素的数值，是其差分形式的所对应元素的系数。

因此，如果你要自行设计卷积核，那么需要根据使用卷积核函数所对应的差分形式，重新推算出新的矩阵每一项的值。

《如何通俗易懂地解释卷积》 ，https://www.zhihu.com/question/22298352 ↩︎