正定矩阵及其系列性质

2024-07-12 11:22| 来源: 网络整理| 查看: 265

1. 正定矩阵的定义

广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有 $z^TMz0$ ，则称M为正定矩阵；

狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有 $z^TMz0$ 。

2. 正定矩阵的性质

正定矩阵的行列式恒为正： $|A|0$

实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同

若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵

两个正定矩阵的和也是正定矩阵

正实数与正定矩阵的乘积也是正定矩阵

3. 正定矩阵的等价命题

对于n阶实对称矩阵A，下列等式是等价的：

A是正定矩阵

A的一切顺序主子式均为正

A的一切主子式均为正

A的特征值均为正

存在实可逆矩阵C，使得 $A=C^TC$

存在秩为n的 $m\times n$ 实矩阵B，使得 $A=B^TB$

存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使得 $A=R^TR$

ps：

矩阵合同的定义

设A,B是两个n阶的方阵，若存在可逆矩阵C，使得：

$C^TAC=B$

则称方阵A与方阵B合同，记作： $A\simeq B$

矩阵的顺序主子式：

$M=\begin{bmatrix} 6 & -3 & 1\\ -3 &2 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix}$

对称矩阵M的三个顺序主子式依次为：

$|6|=60$

$\begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}=30$

$\begin{bmatrix} 6 & -3 & 1 \\ -3& 2 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix}=100$

因此矩阵M是正定的

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