Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ x α − 1 e − x d x \Gamma(\alpha)= \int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx Γ(α)=∫0+∞​xα−1e−xdx

随机变量 X X X为一件事发生 α α α次所需要的时间，即 X ∼ Γ ( α , β ) X\sim \Gamma(\alpha,\beta) X∼Γ(α,β)，其中 α α α为形状参数（shape parameter），表示事件发生的次数， β β β为尺度参数（scale parameter），表示一次事件发生的频率

密度函数为： f ( x , β , α ) = β α Γ ( α ) x α − 1 e x p ( − β x ) f(x,\beta,\alpha)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}exp(-\beta x) f(x,β,α)=Γ(α)βα​xα−1exp(−βx)

均值和方差为： μ = α β \mu =\frac{\alpha}{\beta} μ=βα​

σ 2 = α β 2 \sigma^2 =\frac{\alpha}{\beta^2} σ2=β2α​

特殊形式：

当 α > 1 \alpha>1 α>1时为指数分布2， f ( x , β , α ) = β Γ ( 1 ) x 0 e x p ( − β x ) = β ⋅ e x p ( − β x ) f(x,\beta,\alpha)=\frac{\beta}{\Gamma(1)}x^{0}exp(-\beta x)=\beta·exp(-\beta x) f(x,β,α)=Γ(1)β​x0exp(−βx)=β⋅exp(−βx)

若 θ − 1 \theta ^{-1} θ−1满足参数为 α ， β \alpha ，\beta α，β的 Γ \Gamma Γ分布，则 θ \theta θ满足逆 Γ \Gamma Γ分布，记为 X ∼ I G ( α , β ) X\sim IG(\alpha ,\beta) X∼IG(α,β)，逆 Γ \Gamma Γ 分布是正态方差的共轭先验分布

θ ∼ I n v − G a m m a ( α , β ) \theta \sim Inv-Gamma(\alpha,\beta) θ∼Inv−Gamma(α,β)

p ( θ ) ∼ I n v − G a m m a ( θ ∣ α , β ) p(\theta) \sim Inv-Gamma(\theta|\alpha,\beta) p(θ)∼Inv−Gamma(θ∣α,β)

s h a p e ： α > 0 ， s c a l e ： β > 0 shape：\alpha>0，scale：\beta>0 shape：α>0，scale：β>0

p ( θ ) = β α Γ ( α ) θ − α − 1 e x p ( − β x ) p(\theta)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\theta^{-\alpha-1}exp( -\frac{\beta}{x}) p(θ)=Γ(α)βα​θ−α−1exp(−xβ​)

E ( θ ) = β α − 1 E(\theta) =\frac{\beta}{\alpha-1} E(θ)=α−1β​

V a r ( θ ) = β 2 ( α − 1 ) 2 ( α − 2 ) Var(\theta) =\frac{\beta^2}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)} Var(θ)=(α−1)2(α−2)β2​

m o d e ( θ ) = β α + 1 mode(\theta) =\frac{\beta}{\alpha+1} mode(θ)=α+1β​

Normal-inverse gamma distribution 又称 normal-scaled inverse gamme distriution，是正态分布的先验分布

PDF（概率密度函数）： P r ( μ , σ 2 ) = γ σ 2 π β α Γ [ α ] ( 1 σ 2 ) α + 1 e x p [ − − 2 β + γ ( δ − μ ) 2 2 σ 2 ] Pr(\mu,\sigma^2)=\frac{\sqrt\gamma}{\sigma\sqrt{2\pi}}\frac{\beta^\alpha}{\Gamma[\alpha]}(\frac{1}{\sigma^2})^{\alpha+1}exp[-\frac{-2\beta+\gamma(\delta-\mu)^2}{2\sigma^2}] Pr(μ,σ2)=σ2π ​γ ​​Γ[α]βα​(σ21​)α+1exp[−2σ2−2β+γ(δ−μ)2​] P r ( μ , σ 2 ) = N o r m I n v G a m μ , σ 2 [ α , β , γ , δ ] Pr(\mu,\sigma^2)=NormInvGam_{\mu,\sigma^2}[\alpha,\beta,\gamma,\delta] Pr(μ,σ2)=NormInvGamμ,σ2​[α,β,γ,δ]

σ 2 ∼ Γ − 1 ( α , β ) , α λ β ( x − μ ) ∼ t ( 1 ) \sigma^2\sim\Gamma^{-1}(\alpha,\beta),\sqrt{\frac{\alpha\lambda}{\beta}}(x-\mu)\sim t(1) σ2∼Γ−1(α,β),βαλ​ ​(x−μ)∼t(1)

概率密度函数 f x ( x ) = α δ π q ( x ) ⋅ e x p [ p ( x ) ] ⋅ K 1 [ α q ( x ) ] f_x(x)= \frac{\alpha \delta}{\pi q(x)}·exp[p(x)]·K_1[\alpha q(x)] fx​(x)=πq(x)αδ​⋅exp[p(x)]⋅K1​[αq(x)]

其中： p ( x ) = δ α 2 − β 2 + β ( x − μ ) p(x)=\delta\sqrt{\alpha^2-\beta^2}+\beta(x-\mu) p(x)=δα2−β2 ​+β(x−μ)

q ( x ) = δ 2 + ( x 2 − μ 2 ) q(x)=\sqrt{\delta^2+(x^2-\mu^2)} q(x)=δ2+(x2−μ2) ​

K d ( ⋅ ) K_d(·) Kd​(⋅)为索引为 d d d的第二类修正贝塞尔函数

N I G NIG NIG分布由 ( α , β , μ , δ ) (\alpha,\beta,\mu,\delta) (α,β,μ,δ)四个参数表征：

f x ( x ) = α δ π δ 2 + ( x 2 − μ 2 ) ⋅ e x p [ δ α 2 − β 2 + β ( x − μ ) ] ⋅ K 1 [ α δ 2 + ( x 2 − μ 2 ) ] f_x(x)= \frac{\alpha \delta}{\pi \sqrt{\delta^2+(x^2-\mu^2)}}·exp[\delta\sqrt{\alpha^2-\beta^2}+\beta(x-\mu)]·K_1[\alpha \sqrt{\delta^2+(x^2-\mu^2)}] fx​(x)=πδ2+(x2−μ2) ​αδ​⋅exp[δα2−β2 ​+β(x−μ)]⋅K1​[αδ2+(x2−μ2) ​] 一般为对称分布， β = μ = 0 \beta=\mu=0 β=μ=0，则概率密度为： f x ( x ) = α δ ⋅ e x p ( δ α ) π δ 2 + x 2 ⋅ K 1 [ α δ 2 + x 2 ] f_x(x)= \frac{\alpha \delta·exp(\delta\alpha)}{\pi \sqrt{\delta^2+x^2}}·K_1[\alpha \sqrt{\delta^2+x^2}] fx​(x)=πδ2+x2 ​αδ⋅exp(δα)​⋅K1​[αδ2+x2 ​]

神奇的伽玛函数 (上) 神奇的伽玛函数 (下) MATLAB概率统计函数(1) Gamma分布与逆Gamma分布 by weixin_41875052 Gamma分布和逆Gamma分布 by 萌即正义Zitrone 《计算机视觉：模型、学习和推理》一3.6　正态逆伽马分布 正态逆威沙特分布（Normal-Inverse-Wishart） 兰小艳, 陈莉, 贾建,等. 一种改进正态逆高斯分布模型的图像去噪算法[J]. 计算机应用研究, 2017(10):314-318.

怎么来理解伽玛（gamma）分布？ ↩︎

Γ ( 1 ) = 1 \Gamma(1)=1 Γ(1)=1 ↩︎