该俱乐部收敛指标（Club Convergence Indicator）将分布内部复杂变化的影响用一个数字来概括，包括组间分散程度和组内集中程度的变化，该指标有以下三个优点：

（1）直观易懂——利用临界带宽的概念解释分布的显著性；

（2）操作简单——通过简单的Bootstrap过程即可计算出显著性的变化；

（3）成本低——标准多峰分布检验的研究已经计算出了临界带宽的数值，因此我们只需要记录其随时间的变化即可。

与其他极化指数相比，该指标对分布的内部变化比较敏感，而分布的绝对值变化并不影响其大小。

利用本文构建的俱乐部收敛指标，作者研究了近年来世界各国人均GDP的分布，提出了“千禧年顶点（The Millennium Peak）”的现象：19世纪80-90年代，俱乐部收敛指标上升，从2000年左右到2011年，指标逐渐下降。也就是，在千禧年之前，各国人均收入分布存在显著的俱乐部收敛，随后则出现了相反的趋势（de-clubbing）。

具体的指标构建是如何进行的，而出现“千禧年顶点”原因又是什么？后文将分为以下几个部分进行详细介绍：

俱乐部收敛指标的构建

俱乐部收敛指标的特征

关于千禧年顶点的实证研究

俱乐部收敛指标的构建

1 静态情形：临界带宽(Critical Bandwidth)

若希望在不对人均收入分布形态作出假设的情形下，对其进行估计，通常会采取非参数估计中的核密度估计（kernel density estimation）。比如，面对样本量为n的数据点xi（i=1,2,…,n），核密度估计所得到的密度函数如下所示：

原文对密度函数提出了一些正规化条件的假设，如有界、两次连续可导等。其中，核函数（kernel function）通常采用高斯函数：

（其中h为带宽）

因为带宽h值将影响密度函数的形状，因此核密度估计的关键在于选择合适的带宽。Silverman（1981）曾给出证明，采用高斯形式的核密度函数分布的峰值个数将随着带宽的增加而减少。即，带宽增加将为核密度函数分布增加额外的小波动，增加整体函数的平滑性。由此，他给出CBm的定义：使核密度函数产生m个（而非m+1个）峰值的最小带宽。所有小于CBm的带宽值，将会增加峰值个数，即，使核密度函数产生m+1个峰值。在正规化条件下，Silverman推导了临界带宽的渐近性质，发现临界带宽以n^(-1/5)的速度趋近于0。

Silverman随即提出了由临界带宽发展起来的关于核密度函数形态（即峰值数量）的检验。该检验的原假设是，核密度函数存在m个峰值；备择假设为单边假设，即核密度函数形态存在的峰值个数多于m。该检验的执行过程是：根据核密度函数存在m个峰值的假设，先计算得到初始临界带宽值，随后通过bootstrap再抽样的方法得到实际临界带宽值，若后者在一定的置信水平下远大于前者，则拒绝原假设，说明核密度函数形态的峰值多于m个。

这种针对核密度函数形态的检验由于其保守性受到了一些批评，但是进行一定的校准技术改善后，仍然优于其他检验函数形态的非参数方法，因此较为广泛地应用于人均GDP、劳动生产率等变量的分布检验中。然而，该检验是静态的，这就意味着，即使Bianchi（1997）发现，独立来看，在1980年和1989年这两年中，人均GDP分布呈现双峰形态，但是无法对这两年的分布密度函数进行对比，即无法判断峰态显著度的变化。

2 动态情形：俱乐部收敛指标

分析动态情形遇到的挑战是，基于原始数据计算得到的带宽对影响整体分布的变化非常敏感。但是，俱乐部收敛指标的目的是判断不同情形下人均GDP分布形态的显著度是否发生变化，从理论上来说应该只反映峰值与其他数据的相对关系，不应该受整体分布方差的影响。因此首先要对密度函数进行标准化。作者在此提出定理1，即标准化后密度函数的临界带宽为原密度函数临界带宽除以原分布的标准差(若对定理内容及证明感兴趣，可参考原文及其附录)。Silverman提出的分布函数形态检验仍然适用。

在研究人均收入分布时，已有的研究多主张其为双峰分布，或者说形成了发展中国家和发达国家两个集群。作者提出，在t1和t2时刻（t1