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(共40张PPT)4 角平分线第1课时 角平分线的性质与判定北师版八年级数学下册学习目标证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.在角平分线性质定理及判定定理的学习过程中，体会抽象、类比、分类的数学思想.重点难点新课导入在公路 l1、l2 附近有两个村庄 A、B，它们的位置如图所示. 高速公路管理处要建一个服务区 C，按照设计要求，服务区 C 到两个村庄 A，B 的距离必须相等，到两条公路的距离也必须相等. 你能找出服务区 C 的位置吗？新课探究什么叫角平分线？如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线.你还记得角平分线上的点有什么性质吗？定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.几何语言如图，∵OP 平分∠AOB，PE⊥OB，PF⊥OA，垂足分别为 E，F，∴PE=PF.已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥ OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.求证：PD = PE.OABCPDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠PDO =∠PEO = 90°.OABC12PDE∵ ∠1 =∠2，OP = OP，∴△PDO ≌△PEO（AAS）.∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）.应用如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE ⊥ AB. 若 AC=2，DE=1，则 S△ACD=_____.1想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？　　如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．　　这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.几何语言如图，∵PF⊥OA，PE⊥OB，且PE=PF，∴点 P 在∠AOB 的平分线上.已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E ，且 PD = PE.求证：OP 平分∠AOB.OABCPDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，∴∠ODP =∠OEP = 90°.OABC12PDE∵ PD = PE， OP = OP，∴Rt△DOP ≌ Rt△EOP（HL）.∴∠1 =∠2（全等三角形对应角相等）.∴OP 平分∠AOB.如图，在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.ABCDEF例1ABCDEF解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，∴AD 平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵∠BAC = 60°，∴∠BAD = 30°.在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，∴ DE = AD = ×10 = 5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.1212练习1.判断下列推理是否正确ABCDEFP（1）如图，∵AD 平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE = PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.√ABCDEFP（2）如图，∵ PE = PF，∴ AD 平分∠BAC （到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.×ABCDEFP（3）如图，∵ 点 P 在∠BAC 的平分线上，∴ PE = PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.×（4）如图，∵ PE⊥AB，PF⊥AC，∴ AD 平分∠BAC（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.ABCDEFP×ABCDEFP（5）如图，∵ PE⊥AB，PF⊥AC，PE = PF，∴点 P 在∠BAC 的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.√2. 如图，BD=CE，BE⊥AC 于点 E，CD⊥AB 于点 D，BE，CD交于点 F. 求证：点 F 在∠BAC的平分线上.证明角平分线的常见思路有两种：①直接证明两个角相等；②转化为证明“两条垂线段相等”.1. 如图，在△ABC 中，P 是 AC上一点，连接BP，在∠BAC 内求作一点 M，使得点 M 到 AB 和 AC 两边的距离相等，并且到点 B 和点 P 的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹）巩固提升一、角平分线和垂直平分线的综合作图解：如图，点 M 即为所求.2. 如图，在△ABC 中，∠C= 90°，AC=BC，AD 平分∠CAB，交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E.若△BDE 的周长是 4 cm，求 AB 的长.二、利用角平分线的性质进行计算转化思想3. 如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，AC，BD 交于点 E，连接 OE. 求证：EO平分∠AED.三、与角平分线有关的证明随堂演练1. 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE⊥BC，垂足为 E. 若 CD=2，CE=1，则点 D 到 AB 的距离为（ ）A. B. C.2 D.B2. 如图，PM⊥AC 于点 M，PN⊥AB 于点N，PM=2，当 PN=_______时，点 P 在 ∠BAC的平分线上.23. 在公路 l1异侧、l2 同侧有两个村庄 A、B，如图所示，高速公路管理处要建一个服务区 C，按照设计要求，服务区 C 到两个村庄 A，B 的距离必须相等，到两条公路 l1，l2的距离也必须相等，请找出服务区 C 的位置.解：如图，连接 AB，作出线段 AB 的垂直平分线，与两条直线所形成的角的平分线有两个交点 C1，C2，这两个点就是服务区的位置.4. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=90°，AD=3，连接 BD，BD⊥CD，∠ADB =∠C. 若 P 是边 BC 上一动点，求 DP 的最小值.解：如图，过点 D 作 DH⊥BC 于点 H.∵BD⊥CD，∴∠BDC ＝90°.又 ∵∠C＋∠BDC＋∠CBD＝ 180°，∠ADB＋∠A＋∠ABD＝ 180°，∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD.∴BD 是∠ABC 的平分线.又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴ AD＝DH.又∵AD＝3，∴DH＝3.∵ D 是直线 BC 外一点，∴ 当点 P 在 BC 上运动到与点 H 重合时 DP 最短，即 DP 的最小值为 3.5. 如图，锐角三角形 ABC 的两条高 BE，CD相交于点 O，且 OB=OC.（1）求证：△ABC 是等腰三角形；（2）判断点 O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由.课堂小结定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.互逆命题课后作业1.从教材习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.

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