n阶矩阵A能够相似于对角形矩阵 的充要条件 是什么?

特征值和特征向量的关系:

那么这里需要注意的是 如何求特征值和特征向量 ? 相似矩阵有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值

需要注意的几个名词: 特征值, 特征向量 特征矩阵 特征多项式 矩阵的迹 特征子空间: 矩阵A的 某一个特征值 对应的特征向量的集合, 构成一个线性空间, 称为A的特征子空间(相同特征值对应的特征向量集合), 特征子空间的维数不超过特征值的重数

当线性变换T 有n个线性无关的特征向量时, 只要选取这一组向量为一个基, 则显然T在这个基下的矩阵就是对角形矩阵 线性变换 等价于 矩阵 反过来, 若T在某个基 下的矩阵是对角形矩阵, 从而有 T * 基中的第i个向量 = 相对应的特征值 * 该向量, 因此 基内各个向量是线性无关的特征向量. 实对称矩阵都相似与对角形矩阵 但是并非所有的矩阵A都可以相似与对角形矩阵, 那么当矩阵A不能和对角形矩阵相似时, 我们能否找到一个构造比较简单的分块对角矩阵与他们相似呢? 在复数域C内考虑这个问题时, 这个矩阵确实存在, 这个就是约当形矩阵, 称为矩阵A 的约当标准形

实对称矩阵: 矩阵元素都是实数 实矩阵: 实矩阵指的是矩阵中所有的数都是实数的矩阵。如果一个矩阵中含有除实数以外的数，那么这个矩阵就不是实矩阵 复数矩阵

复数包括实数和虚数，虚数包括纯虚数和非纯虚数；实数包括有理数和无理数，有理数又包括整数和分数。所以实数集是复数集的子集合。

若 ( f(x), g(x) ) = 1, 则称 f(x) 和 g(x) 互素 / 互质, 关于多项式的最大公因式和互素有下列两个重要的结果: 设矩阵A中的各个元素的值是属于复数域中的, 那么矩阵A的特征矩阵是 A(m) = mE - A ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20191203112444138.png

次数最低 + 零化多项式 = 最小多项式 但是一个矩阵的最小多项式是唯一的

多项式矩阵的形式

互素 / 互质: 若 ( f(x), g(x) ) = 1, 则称 f(x) 和 g(x) 互素 / 互质,