微积分是研究实数域上函数的微分与积分等性质的学科。

它的主要研究手段是极限。

微积分中的一切概念，如极限、连续、微分以及积分等都是建立在实数的基础这上的。

定义 1. 可以表示为两个整数相除的数，称为有理数。

后面，当使用$\displaystyle x=\frac{q}p\in\mathbb{Q}$时，表明(约定)

$p$, $q$均为整数，且$p>0$。

即$\displaystyle -1.5=\frac{-3}2$, $\displaystyle 1.5=\frac{3}2$,

$p$, $q$互素，或者说$p$,$q$既约，或者说$p$,$q$没有除$1$以外的公因子。

对于整数$z\in\mathbb{Z}$，表达成$\displaystyle z=\frac{z}1$。

即$\displaystyle 0=\frac{0}1$, $\displaystyle 3=\frac{3}1$, $\displaystyle -4=\frac{-4}1$

定理 1. 两个有理数之间，有至少一个有理数

证明. $a$,$b$为有理数，不防设$ac$

证： $c=\dfrac{p}{q}$，则可以取 $n=p$

定理 3. 任意两个非零有理数$a$,$b$，都存在整数$n$，使得$na>b$

证：对$c=\dfrac{b}{a}$为有理数，取$n>c$，则有$na>b$

问题. 有理数够用了吗？

例 1. $\sqrt2$不是有理数。

解. 若$\sqrt2$是有理数，则设$\sqrt2=\dfrac{p}{q}$，其中$p$,$q$互素，则

可以看出，$p$为偶数，即$p=2k$，代入上式，化简后，可得

所以$q$也是偶数。与$p$,$q$互素矛盾

将有理数集进行扩充的一种方法

实数： 有理数和无理数统称为实数。

“$\sqrt2$不是有理数，所以是无理数”的说法还不够严密：

(1) 没有说明$\sqrt2$一定是实数。

(2) 没有办法证明它是无限不循环小数。

要想证明$\sqrt2$是实数，那么就需要知道构造出来的实数集有什么样的特性。

已知的将有理数集进行扩充的方法：

(1) 戴德金分割 (Dedeking cut)

(2) “有理基本序列”法-Contor and Heine

(3) “有界单调序列”法-Weierstrass

这些不同的扩充方法对应着实数集的不同的“公理”特性。

公理化方法研究数学。每一个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论， 而所有这样的推理链的共同出发点， 是一些基本定义和认为是不证自明的基本原理–公设或公理。

Hilbert在1899年第一次明确提出公理系统的原则：

Euclid在公元前300年已经使用了公理化方法。他写的《几何原本》是数学史上的第一座理论丰碑。

实数的完备性是实数的一个重要性质：

实数的完备性有很多等价形式，我们选择以“确界原理”作为出发点。

从现在开始，假定已经从有理数集$\mathbb{Q}$扩充到了实数集$\mathbb{R}$。

不做特别说明的话，数$a$指的是实数$a$，数集$A$指的是实数集$A$

定义 2. (上界) 实数集中的非空集合$A$和实数$M$，若满足

则称$M$为$A$的一个上界

例 2. 例

(1) $A=\{x\in\mathbb{Q} | x\leq 0\}$，有上界$0$, $1.2$, $\cdots$

(2) $A=\{x\in\mathbb{R} | x> 0\}$，没有上界

定义 3. (下界) 非空集合$A$和数$m$，若满足

则称$m$为$A$的下界

定义 4. 既有上界，又有下界的集合称为有界集。也就是说，存在数$M$满足

定义 5. (上确界) 非空实数集合$A$和实数$M$，若满足

则称$M$为$A$的上确界，记为

$\exists x'\in X$, 满足 $ x'>m+\epsilon$,

$\exists y'\in Y$, 满足 $ y'>n+\epsilon$，

所以，存在$\color{blue}c'=x'+y'\in X+Y$, 有

也就是说，$m+n$为下确界。

公理： (确界原理) 非空有上（下）界的数集，一定有上（下）确界

前面，我们证明了对有理数是成立的

解. 只需说明，存在整数$n$满足$n>\frac{b}a$

证： 取$A=\left\{n|n\leq x, n\in Z\right\}$，则$A$非空，且有界为$x$。所以$A$有上确界，记为$\alpha=\sup(A)$。

下证：$\alpha$为整数。

（反证)：若$\alpha$不为整数，取$a\in A$，则$B=[a,\alpha)\cap A$非空，且$B$只含有有限个整数点。

记$b$为$B$的最大值，则$b$为$B$的上确界。

又，由$A$的上确界为$\alpha$，$[a,\alpha)$的上确界为$\alpha$，所以$B$的上确界为$\alpha$。

而$b$为整数，所以有$b0$，则

$A=\{x\in Q:x^2