第三章线性系统的时域分析法

2024-05-31 10:30| 来源: 网络整理| 查看: 265

第三章线性系统的时域分析法¶ 第三章线性系统的时域分析法 1 时域指标 2 一阶系统分析 3 二阶系统分析 3.1 典型欠阻尼二阶系统 3.2 阻尼比 3.2.1 特殊阻尼比 3.2.2 最佳阻尼比 3.3 其他 4 高阶系统处理方法 4.1 主导极点法 4.2 零点极点法 5 时域矫正：增加零极点 6 线性系统稳定性分析 6.1 李一戚判据（必要判据） 6.2 劳斯判据（充要判据） 7 线性系统稳态误差计算 7.1 定义法 7.2 静态误差系数法 8 上课笔记

如果生疏了，可以看看卢京潮的课，讲的很细，让人理解提高一个境界.

1 时域指标¶

稳：曲线不要发散（跟随给定）, 一般关注超调量 \(\sigma \%\) 准：稳态误差 \(e_{ss}\) 快：过渡过程，一般关注调节时间 \(t_s\) （超调量尽可能小的同时，调节时间尽可能短） 2 一阶系统分析¶ \[\Phi(s)=\frac{1}{Ts+1}\] 超调量：无调节时间：\(t_s=3T\) (\(5\%\)误差带）

这个比较简单，如果从极点位置进行分析的话：一阶系统有一个在实轴上的极点\(-\frac{1}{T}\), 时间常数 T 越小，极点离虚轴越远，响应越快

3 二阶系统分析¶

一阶系统有一个自由度，有一个参数 \(T\) 二阶系统有两个自由度，有两个参数 \(\omega_n, \xi\)

负阻尼，极点在右半平面零阻尼，极点在虚轴欠阻尼，极点在左半平面临界阻尼，极点刚好位于实轴同一点处过阻尼，极点在实轴

时域分析大体上，就是看极点位置对比，和根据现成公式计算时域指标除了欠阻尼，这里并不单独讨论其他系统了，通过极点分析方法可以知道基本情况.

3.1 典型欠阻尼二阶系统¶

固有频率 \(\omega_n\) 决定了极点所处圆的半径阻尼比 \(\xi\) 决定了极点所处的角度 \(\cos\beta=\xi\) 极点横坐标决定调节时间 \(t_s=\frac{3.5}{\xi\omega_n}\) (\(5\%\)误差带）, \(t_s=\frac{4}{\xi\omega_n}\) (\(2\%\)误差带）极点纵坐标决定峰值时间

其他公式

有阻尼自然震荡角频率（也就是极点的纵坐标） \(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\) 上升时间 \(t_p=\frac{\pi-\beta}{\omega_d}\) 峰值时间 \(t_p=\frac{\pi}{\omega_d}\)

系统极点位置与对应模态

基本要求是理解极点位置对系统性能的影响深入一些的话，就要熟悉曲线公式，记一下特殊位置的阻尼比了

理想的主导极点位置

远离虚轴，这样响应快；靠近实轴（或者沿 45°线）, 这样超调小（或者是）; 总之：希望极点位于 45°线，离虚轴尽可能远

往左：平稳性往上：快速性 3.2 阻尼比¶ 3.2.1 特殊阻尼比¶

3 个特殊的阻尼比，可以记一下，挺好记的，30,45,60, 超调差不多都和 4 有关，16, 5, 0.43

\(\xi\) \(\beta\) \(\sigma\%\) 0.5 60 0.43 0.707 45 4.33 （通常记为 5%误差 ) 0.866 30 16.3

阻尼比 \(\xi=1\)时，刚好没有超调量，典型二阶系统可拆为 2 个惯性系统.

\(s^2+2\omega_n^2 s+\omega_n^2=(s+\omega_n)^2\)

直观理解：惯性系统拖慢系统，二阶过阻尼以及临界阻尼拖的比较厉害.

3.2.2 最佳阻尼比¶

为什么最佳阻尼比是 0.707?

固定\(\xi\omega_n=C\) , 即极点实部不变，根据近似计算公式，调节时间不变. （前面按照包络线简化计算获得调节时间）但是实际上，\(\xi=0.707\) 处，调节时间 \(t_s\) 最小.

固定 \(\omega_n=C\) 也能得出一样的结论.

总结：

纯从理论研究来看，对于二阶系统来说，阻尼比为 0.707 时，实际调节时间最短，所以说是最佳. 超调 5%, 也不算很大极点对应位置是 45°线上我们希望系统极点位于 45°线上，离虚轴越远越好

对于最佳阻尼比 \(\xi=0.707\),

带宽频率 \(\omega_b=\omega_n\) 刚好出现共振谐振频率 \(\omega_r=0\) 谐振峰值 \(M_r=1\) 3.3 其他¶ \(\omega_n\) \(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\) \(\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\xi^2}\) \(\omega_b=\omega_n\sqrt{1-2\xi^2+\sqrt{2-4\xi^2+4\xi^4}}\) （这个公式可能不需要记吧。) 4 高阶系统处理方法¶ 4.1 主导极点法¶

舍去离虚轴远的，偶极子等，计算性能

主导极点距离虚轴较近（收敛慢）, 对过渡过程影响较大的闭环极点. > 离虚轴远的极点收敛快，只在响应初期起作用，对动态性能指标如调节时间影响不大判断标准 : 距离虚轴的距离和其他极点差三倍距离/五倍距离/十倍距离以上）偶极子靠得很近，作用可以相互抵消的闭环零极点对（近似分子分母相消）判断标准 : 零极点距离记为 \(L_1\), 零极点离原点距离 \(L_2\), 应该差 10 倍 \(10 L_1< L_2\)

Attention

舍去零点/极点后，其增益要保留下来例如传函里是 \((s+p)\) 对应的极点被舍弃掉了，不是单纯地删去 \((s+p)\), 而是替换为 \(p\), 这这样传递函数的增益不变.

4.2 零点极点法¶

如果舍去能舍去的东西之后，发现剩余的还是 2 阶以上，就使用零点极点法

上面的判断标准来自于卢京潮课程（或下载的讲义）, 其他地方没看到，应该不是铁律，只是一种经验.

Todo

零点极点法估算高阶系统第三章第十节

5 时域矫正：增加零极点¶

闭环极点决定响应的模态，闭环零点决定模态的加权系数.

Attention

这里指系统闭环零极点，即系统"最终的状态". 改变开环零极点属于"曲线救国", 需要在根轨迹那套体系里理解。

添加影响开环零点从对根轨迹影响去理解，把根轨迹往左弯，并且零点还是根轨迹的终点，动态性能变好. 开环极点从对根轨迹影响去理解，把根轨迹往右弯，不利于稳定性，动态性能变差. 闭环零点从新增串联微分环节去理解，响应变快，超调增大，减小阻尼闭环极点从新增串联惯性环节去理解，响应变慢，超调减小，增大阻尼

测速反馈添加了一个开环零点 \(-\frac{1}{K_t}\), 使闭环极点位置左移动，增加了阻尼附加闭环零极点离虚轴越近，效果越明显附加开环零极点，一般指的都是串联校正，在闭环里面；附加闭环零极点，是加在反馈环以外，比如前置滤波 6 线性系统稳定性分析¶

经典控制理论认为临界稳定是不稳定，因此系统稳定的充要条件是，全部闭环极点落在左半 s 平面.

6.1 李一戚判据（必要判据）¶

特征方程系数不变号（都为正）理解方式：\((s+p_1)(s+p_2)...(s+p_n)\) 根据排列组合，\(s^k\)的系数应该是 \(n-k\) 个 \(p_i\) 相加，如果极点都在左半平面，那么实部应该越加越大，不可能出现有的系数为正有的系数为负的情况.

6.2 劳斯判据（充要判据）¶ 某行第一个元素是 0 原因（应该是）在于系统临界稳定. 虽然经典控制理论认为临界稳定（根的实部为 0) 不算稳定，但是劳斯判据判别的是特征方程存在正实部根的个数. 课程的处理为，这里不认为不稳定. 用一个很小的正数 \(\epsilon\) 代替继续算劳斯表中出现全零行原因是特征方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根 (关于虚轴对称的根)。处理方法: 利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行，完成劳斯表的排列。辅助多项式的根即为这些大小相等、符号相反的根，而且其根的数目总是偶数的。注意, 辅助多项式只是表明特征方程有这些根，不能根据辅助多项式的次数判定有多少根，你可以通过长除法去掉这些对称的根后继续判断. （经验总结，可以看看下面这个例子）

如果发现存在纯虚根，说明临界稳定.

Example

系统特征多项式为：

\[ q(s)=s^{6}+3s^{5}+10s^{4}+24s^{3}+32s^{2}+48s+32 \]

7 线性系统稳态误差计算¶ 7.1 定义法¶

计算稳态误差要先验证稳定性一般误差信号会在方框图上标出来，可以根据梅森增益公式获得其表达式，之后利用终值定理判断稳态误差

7.2 静态误差系数法¶ 系统必须稳定只适用于控制输入口加入信号（如果有前馈，就不能使用）只对 E=R-B 定义有效（也就是说，误差的定义要在那个很常见的位置）只适用于典型输入（大概）位置输入 \(A1(t)\) 速度输入 \(At\) 加速度输入 \(\frac{A}{2}t^2\)

使用步骤：

求开环传递函数，判断开环增益 K, 系统型别 v 由输入阶数和输入幅值判断稳态误差

理解：积分环节是对跟踪能力的储备

增益对误差影响：

开环增益变大，则误差信号被放大，说明只需要维持很小的误差信号就能够实现较大的控制效果闭环增益变大，只改变整体的幅值，不影响动态性能. 影响稳态值. 8 上课笔记¶

EXAM NOTIFICATION 动态性能指标没有大题. 动态性能指标公式不考，理解下定义就可以了. 一阶系统调节时间是三倍的时间常数超调量只和阻尼比\(\xi\)有关，其他与\(\xi,\omega_n\)都有关

二阶系统要知道不同情况极点计算公式需要掌握，公式里面的各个参数含义也需要清楚

\(\xi,\omega_n\)的不同情况例如\(\omega_d\)有阻尼震荡角频率，\(\omega_n\)无阻尼震荡角频率？

极点位置与根轨迹结合考察，例如由根轨迹求临界稳定和临界阻尼时的 K 值.

稳定性劳斯判据一道大题 10 分（不会考劳斯判据的稳定裕量）要注意两种特殊情况，1 个数为 0 （取\(\varepsilon\)) 或者全 0 行

英语单词误差 error 稳态误差 steady-state error

用英语写一下稳定的充分必要条件：连续控制系统 (continuous control system) 稳定的充分必要条件 (necessary and sufficient conditions) 是闭环极点 (closed-loop poles) 都位于 S 平面 (S plane) 左侧.（离散控制系统稳定的充分必要条件是系统的特征方程的根都在 Z 平面以上以原点为圆心的单位圆内） The sufficient and necessary condition for the stability of continuous control system is that all the closed-loop poles are located on the left side of the S plane. All the closed-loop poles have negative real parts. 闭环系统特征方程的所有根均具有负实部闭环传递函数的极点均位于 s 左半平面

稳态误差的几种定义

输入端定义输出端定义输入-输出

误差系数法求开环增益。填空题（倒数关系吧）

经典输入函数工程上采用具有一定脉宽 b 和有限幅度的矩形脉动函数代替单位脉冲函数。b 要远小于系统时间常数 T，\(b0\) 惯性环节，惯性单元极点为正：\(T0,0\le\varsigma0,-1

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