以固定Q，求解P为例；

由于每一个用户u都是相互独立的，当Q固定时，用户特征向量 P u P_u Pu​应该取得的值与其它用户特征向量无关，所以每一个 P u P_u Pu​都可以单独求解；

优化目标 min ⁡ P , Q C \displaystyle\min_{P,Q}C P,Qmin​C可转化为 min ⁡ P [ ∑ u , i ( R u i − P u ⋅ Q i ) 2 + λ ∑ u ∥ P u ∥ 2 ] = ∑ u min ⁡ P [ ∑ i ( R u i − P u ⋅ Q i ) 2 + λ ∥ P u ∥ 2 ] \displaystyle\min_P[\displaystyle\sum_{u,i}(R_{ui}-P_u\cdot Q_i)^2+\lambda\displaystyle\sum_{u}{\lVert P_u\rVert}^2]=\displaystyle\sum_{u}\displaystyle\min_P[\displaystyle\sum_{i}(R_{ui}-P_u\cdot Q_i)^2+\lambda{\lVert P_u\rVert}^2] Pmin​[u,i∑​(Rui​−Pu​⋅Qi​)2+λu∑​∥Pu​∥2]=u∑​Pmin​[i∑​(Rui​−Pu​⋅Qi​)2+λ∥Pu​∥2]

令 L u ( P u ) = ∑ i ( R u i − P u ⋅ Q i ) 2 + λ ∥ P u ∥ 2 L_u(P_u)=\displaystyle\sum_{i}(R_{ui}-P_u\cdot Q_i)^2+\lambda{\lVert P_u\rVert}^2 Lu​(Pu​)=i∑​(Rui​−Pu​⋅Qi​)2+λ∥Pu​∥2

那么我们的目标变成了：求每一个用户特征向量 P − u P-u P−u，使得 L u ( P u ) L_u(P_u) Lu​(Pu​)取得最小值

L u L_u Lu​对 P u P_u Pu​求偏导： ð L u ð P u = ð [ ∑ i ( R u i − P u ⋅ Q i ) 2 + λ ∥ P u ∥ 2 ] ð P u = ∑ i 2 ( P u Q i − R u i ) Q i + 2 λ P u T = 2 ( ∑ i P u Q i Q i − ∑ i R u i Q i + λ P u T ) \frac{\eth L_u}{\eth P_u} =\frac{\eth[\displaystyle\sum_{i}(R_{ui}-P_u\cdot Q_i)^2+\lambda{\lVert P_u\rVert}^2]}{\eth P_u}=\displaystyle\sum_{i}2(P_uQ_i-R_{ui})Q_i+2\lambda P_u^T =2(\displaystyle\sum_{i}P_uQ_iQ_i-\displaystyle\sum_{i}R_{ui}Q_i+\lambda P_u^T) ðPu​ðLu​​=ðPu​ð[i∑​(Rui​−Pu​⋅Qi​)2+λ∥Pu​∥2]​=i∑​2(Pu​Qi​−Rui​)Qi​+2λPuT​=2(i∑​Pu​Qi​Qi​−i∑​Rui​Qi​+λPuT​)

令 ð L u ð P u = 0 \frac{\eth L_u}{\eth P_u}=0 ðPu​ðLu​​=0，可以得到 ∑ i P u Q i Q i − ∑ i R u i Q i + λ P u T = 0 \displaystyle\sum_{i}P_uQ_iQ_i-\displaystyle\sum_{i}R_{ui}Q_i+\lambda P_u^T =0 i∑​Pu​Qi​Qi​−i∑​Rui​Qi​+λPuT​=0

P u Q i = ∑ i P u k Q k i = Q i T P u T P_uQ_i =\displaystyle\sum_{i}P_{uk}Q_{ki} =Q_i^TP_u^T Pu​Qi​=i∑​Puk​Qki​=QiT​PuT​

由于 P u P_u Pu​和 Q i Q_i Qi​是向量

所以有 ∑ i Q i T P u T Q i − ∑ i R u i Q i + λ P u T = 0 \displaystyle\sum_{i}Q_i^TP_u^TQ_i-\displaystyle\sum_{i}R_{ui}Q_i+\lambda P_u^T =0 i∑​QiT​PuT​Qi​−i∑​Rui​Qi​+λPuT​=0

( ∑ i Q i Q I T + λ I ) P u T = ∑ i R u i Q i (\displaystyle\sum_{i}Q_iQ_I^T+\lambda I)P_u^T =\displaystyle\sum_{i}R_{ui}Q_i (i∑​Qi​QIT​+λI)PuT​=i∑​Rui​Qi​

其中， I I I是单位矩阵

Q i Q_i Qi​是物品i的特征向量，所以等式可以写为： [ ( Q 1 , Q 2 , ⋯   , Q n ) ( Q 1 T , Q 2 T , ⋯   , Q n T ) T + λ I ] P u T = ( Q 1 , Q 2 , ⋯   , Q n ) ( R u 1 , R u 2 , ⋯   , R u n ) T [(Q_1,Q_2,\cdots,Q_n)(Q_1^T,Q_2^T,\cdots,Q_n^T)^T+\lambda I]P_u^T =(Q_1,Q_2,\cdots,Q_n)(R_{u1},R_{u2},\cdots,R_{un})^T [(Q1​,Q2​,⋯,Qn​)(Q1T​,Q2T​,⋯,QnT​)T+λI]PuT​=(Q1​,Q2​,⋯,Qn​)(Ru1​,Ru2​,⋯,Run​)T

可以看到，物品特征向量构成的矩阵，其实就是Q： ( Q 1 , Q 2 , ⋯   , Q n ) = Q (Q_1,Q_2,\cdots,Q_n)=Q (Q1​,Q2​,⋯,Qn​)=Q

所以可以得到： ( Q Q T + λ I ) P n T = Q R u (QQ^T+\lambda I)P_n^T =QR_u (QQT+λI)PnT​=QRu​

解得： P n T = ( Q Q T + λ I ) − 1 Q R u P_n^T =(QQ^T+\lambda I)^{-1}QR_u PnT​=(QQT+λI)−1QRu​

这样一一解出每一个 P u P_u Pu​，就可以得到这一步的用户特征矩阵P了

同样，下一次固定P时，可以解得： Q i T = ( P P T + λ I ) − 1 P R i Q_i^T =(PP^T+\lambda I)^{-1}PR_i QiT​=(PPT+λI)−1PRi​