设为首页收藏本站
开启辅助访问

数学建模

 您所在的位置：网站首页 › 人口增长计算公式数学模型 › 数学建模

数学建模

2023-12-26 16:24| 来源: 网络整理| 查看: 265

文章目录 运行软件：MATLAB R2012a 实验数据 指数增长模型 指数增长模型：方法一 指数增长模型：方法二 改进的指数增长模型 逻辑斯蒂(logistic)模型 逻辑斯蒂(logistic)模型：方法一 逻辑斯蒂(logistic)模型：方法二 运行软件：MATLAB R2012a 实验数据 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 人口/百万 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 增长率/10年 0.2949 0.3113 0.2986 0.2969 0.2907 0.3012 0.3082 0.2452 年份 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 人口/百万 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 105.7 122.8 131.7 增长率/10年 0.2435 0.2420 0.2051 0.1914 0.1614 0.1457 0.1059 0.1059 年份 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 人口/百万 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4 308.7 增长率/10年 0.1579 0.1464 0.1161 0.1004 0.1104 0.1349 指数增长模型

满足人口增长的微分方程和初始条件为： 利用函数dsolve()可得：

指数增长模型：方法一

根据已知数据对模型的参数进行估计又称为数据拟合。 对下面的这个公式同时取对数 可得 t：代表年份1970取0，依次类推 x：人口数量，实验数据已知 根据求出的公式可以求出y；然后利用polyfit()函数求出r，a的值；当a求出来时，根据上面求出的公式，可以求出x0；将r，x0带入公式 可求出指数增长模型方法一的x值

代码如下： 使用的是matlb函数

12345678910111213function [ x1 ] = method_1( x ) %方法一：直接用人口数据和线性最小二乘法 % 利用函数polyfit（），dsolve()求解，r年增长率,返回x1模型的估计值     y=log(x);     t=0:1:21;     p=polyfit(t,y,1);     r=p(1);     a=p(2);     x0=exp(a);     s=dsolve('Dx=r*x','x(0)=x0','t');     x1=eval(s);     x1=x1'; end

运行代码：

12345x=[3.9  5.3 7.2 9.6 12.9    17.1    23.2    31.4    38.6    50.2    62.9    76  92  105.7   122.8   131.7   150.7   179.3   203.2   226.5   248.7   281.4]; m=1790:10:2000; m=m'; m(:,2)=x'; m(:,3)=method_1(x);

运行界面： 运行结果：第一列代表年份；第二列代表实际人口；第三列为指数增长模型：方法一的预估值

指数增长模型：方法二

先对人口数据进行数值微分，再计算增长率并将其平均值作为 的估计； 直接取原始数据。 公式： 先求rk，再求出r，再根据公式 求出模型的预估值 代码如下： 我是以函数文件运行：

1234567891011121314151617181920function [ x2 ] = method_2( x ) %方法二：先对人口数据作数值微分，再计算增长率并将其平均值作为r的估计；x0直接采用原数据 n=length(x); t=0:1:n-1; rk=zeros(1,n); rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2; rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2; for i=2:n-1 rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2; end rk=rk./x; r=sum(rk)/n; x2=zeros(n,1); x2(1)=x(1); for i=1:n x2(i)=x2(1)*exp(r*t(i)); end end

运行代码

123456  x=[3.9    5.3 7.2 9.6 12.9    17.1    23.2    31.4    38.6    50.2    62.9    76  92  105.7   122.8   131.7   150.7   179.3   203.2   226.5   248.7   281.4]; m=1790:10:2000; m=m'; m(:,2)=x'; m(:,3)=method_1(x);  m(:,4)=method_2(x);

运行界面： 运行结果：第一列代表年份；第二列代表实际人口；第三列为指数增长模型：方法一的预估值；第四列为指数增长模型：方法二的预估值

改进的指数增长模型

指数增长模型进行改进。改进为： 假设： 利用dsolve()函数可得： 已知t值，根据上面我们已经求过了rk，所以rk也是已知的，然后利用最小二乘法polyfit()函数计算出 中的r0和r1，x0=3.9，利用eval()函数求出结果 运行代码： 函数：

123456789101112131415161718192021function [ x3 ] =method_3( x ) %方法三：改进的指数增长模型 %   Detailed explanation goes here n=length(x); t=0:1:n-1; rk=zeros(1,n); rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2; rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2; for i=2:n-1 rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2; end rk=rk./x; p=polyfit(t,rk,1); r0=p(2); r1=-p(1); s=dsolve('Dx=(r0-r1*t)*x','x(0)=x0','t'); x0=3.9; x3=zeros(n,1); x3=eval(s); x3=x3'; end

运行代码：

1234567x=[3.9  5.3 7.2 9.6 12.9    17.1    23.2    31.4    38.6    50.2    62.9    76  92  105.7   122.8   131.7   150.7   179.3   203.2   226.5   248.7   281.4]; m=1790:10:2000; m=m'; m(:,2)=x'; m(:,3)=method_1(x); m(:,4)=method_2(x);  m(:,5)=method_3(x);

运行界面： 运行结果：第一列代表年份；第二列代表实际人口；第三列为指数增长模型：方法一的预估值；第四列为指数增长模型：方法二的预估值；第五列改进指数模型的预估值

逻辑斯蒂(logistic)模型

xm：表示人口容量 有了人口容量的限制，当人口数量增加时，增长率r减小，用 表示。

当x=0时，r(0)=r，则a=r 当x=xm时，此时人口不再增长，增长率r=0，于是：b=-r/x0 逻辑斯蒂(logistic)模型：方法一

开勇函数dsolve()求解可得 代码如下：函数

12345678910111213141516171819202122function [ x4 ] = logistic_1( x ) %逻辑斯蒂模型方法一 n=length(x); t=0:1:n-1; rk=zeros(1,n); rk(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3))/2; rk(n)=(x(n-2)-4*x(n-1)+3*x(n))/2; for i=2:n-1 rk(i)=(x(i+1)-x(i-1))/2; end rk=rk./x; p=polyfit(x,rk,1); b=p(1); a=p(2); r=a; xm=-r/b; s=dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(0)=x0','t'); x0=3.9; x4=eval(s); x4=x4'; x4=abs(x4); end

运行代码：

12345678x=[3.9  5.3 7.2 9.6 12.9    17.1    23.2    31.4    38.6    50.2    62.9    76  92  105.7   122.8   131.7   150.7   179.3   203.2   226.5   248.7   281.4]; m=1790:10:2000; m=m'; m(:,2)=x'; m(:,3)=method_1(x); m(:,4)=method_2(x); m(:,5)=method_3(x); m(:,6)=logistic_1(x);

运行界面： 运行结果：第一列代表年份；第二列代表实际人口；第三列为指数增长模型：方法一的预估值；第四列为指数增长模型：方法二的预估值；第五列改进指数模型的预估值；第六列逻辑斯蒂方法一预估值

逻辑斯蒂(logistic)模型：方法二

直接用数据和非线性最小而成估计参数： 运行代码：

1234567891011121314function [ x5 ] = logistic_2( x ) %逻辑斯蒂模型方法二  n=length(x); t=0:1:n-1;  f=@(a,t)a(1)./(1+(a(1)./a(2)-1).*exp(-a(3).*t));   [A,cancha]=lsqcurvefit(f,[500,3.9,0.3],t,x);   s=dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(0)=x0','t'); r=A(3); x0=A(2); xm=A(1); x5=eval(s); x5=x5'; x5=abs(x5); end

运行代码：

123456789x=[3.9  5.3 7.2 9.6 12.9    17.1    23.2    31.4    38.6    50.2    62.9    76  92  105.7   122.8   131.7   150.7   179.3   203.2   226.5   248.7   281.4]; m=1790:10:2000; m=m'; m(:,2)=x'; m(:,3)=method_1(x); m(:,4)=method_2(x); m(:,5)=method_3(x); m(:,6)=logistic_1(x); m(:,7)=logistic_2(x);

运行界面： 运行结果：第一列代表年份；第二列代表实际人口；第三列为指数增长模型：方法一的预估值；第四列为指数增长模型：方法二的预估值；第五列改进指数模型的预估值；第六列逻辑斯蒂方法一预估值；第七列逻辑斯蒂方法二预估值



【本文地址】


今日新闻

推荐新闻

CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3