下面以热尔岗对偶化笛沙格的三角形定理为例说明热尔岗的对偶原理。首先介绍下三角形的对偶：三角形由不在同一直线上的三个点和联接它们的三条线组成，对偶的图形则由不在同一点上的三条线以及联接它们的三个交点组成，对偶图形也是三角形，所以称三角形是自对偶的。热尔岗发明了两栏的书写格式，把对偶命题写在原命题旁，接着他把笛沙格定理改写为：

这里对偶定理是原定理的逆定理。 热尔岗对一般对偶原理的表述是有点含糊和缺陷的，虽然他深信它的普遍性，但无法证明，而彭赛列反对了其中的缺陷，并与热尔岗争夺该原理的优先权（彭赛列确实优先），谴责热尔岗剽窃，不过彭赛列要依靠配极，且不承认热尔岗推广了原理的应用范围。后来彭赛列、热尔岗、莫比乌斯、沙勒和普吕克展开讨论，弄明白了这一原理，莫比乌斯和普吕克都很好地说明了对偶原理与配极之间的关系：对偶概念与圆锥曲线、二次型无关，但后者能用时就与配极一致。这一时期还没有得到对一般对偶原理的逻辑证明。

Jacob Steiner(1796-1863)推进了综合射影几何的发展。他接受法国特别是彭赛列的观点，支持综合法，反对分析学，创立了德国几何学派。他出生于农民家庭，19岁以前在农场干活，大多是自学的，最后成为了柏林的教授。他年轻时在裴斯泰洛齐（近代著名教育家）的学校当老师，深感培养几何直观的重要性，裴斯泰洛齐的原则是在教师引导下，采用苏格拉底式的对话法，让学生创造数学。Steiner方法极端，他教几何不用图，在黑屋子里培养研究生（不明白是啥意思），后期Steiner为了维持多产的名声，把英国和其它期刊发表的定理和证明拿来发文章，他写东西也不声明这些是其他人的成果。他研究几何形状的相互依赖性，其主要原理是运用射影的概念从简单结构（如点、线、线束、面、面束）造出更复杂的结构，他在结果上没有特别的创新，但方法是新的。

他也用类似方法创造了直纹的二次曲面、单叶双曲面和双曲抛物面，用射影对应作为他定义的基础，但对整个射影几何来说，他的方法缺乏普遍性。 他在证明中采用交比作为基本工具，但他不用虚元素，称之为“几何的鬼影”，也不用带负号的量，虽然莫比乌斯已经引入了。Steiner一开始就用对偶原理，如他把圆锥曲线的定义对偶化，得到一种新结构称为线曲线。如果从两个射影相关（而非透视相关）的点束出发，那么联接这两个点束中对应点的线族称为一个线圆锥曲线。点的轨迹曲线称为点曲线，点曲线的诸切线是一个线曲线，如果点曲线是圆锥曲线，就构成对偶曲线。反过来，每个线圆锥曲线包络着一个点圆锥曲线，或说它是点圆锥曲线的切线集体。 用Steiner点圆锥曲线的对偶概念可把许多定理对偶化，比如帕斯卡定理的对偶命题。

Steiner和热尔岗一样，也没有建立对偶原理的逻辑基础。不过他作了图形分类，重视对偶命题，系统地发展了射影几何学。他充分研究了二次曲线和二次曲面。

沙勒毕生从事几何学，他继续彭赛列和Steiner的工作（虽然他不知道Steiner干了啥，因为他看不懂德语），由于他很多工作无意中重复了Steiner的，或者被更普遍的概念更替，这里只介绍少数成果。 沙勒从欧几里得失传的《衍论》中努力弄懂交比的观念（虽然Steiner和莫比乌斯重新引入了，笛沙格也用过这个概念），但沙勒只知道La Hire和帕普斯用过。他得到的结果之一是：圆锥曲线上有四个固定点与这圆锥曲线上任意的第五点确定的四条线有相同的交比。 1828年沙勒给出定理：已知两个共线点集成一一对应，使一条线上任四点的交比等于另一条线上对应点的交比，那么联接对应点的那些线是一个圆锥曲线的切线，圆锥曲线与两条已知线也相切。该结果等价于Steiner的线圆锥曲线定义，这里的交比条件保证两个共线点集是射影相关的，连接对应点的线是Steiner的线圆锥曲线。 沙勒指出从对偶原理来看线和点一样基本，他相信彭赛列和热尔岗也赞成，沙勒把交比称为非调和比，引入“单应”术语描述平面到自身或到其它平面的、把点变成点、把线变成线的变换。这个术语包含了透射的或射影相关的图形，他加了个条件要求变换保持交比不变，称点变线、线变点的变换为对射。 虽然沙勒为纯粹几何学辩护，但他是解析地思考，然后几何地陈述证明和结果，这种方法称为混合法，后来别人也在用。

1850年左右，射影几何和欧几里得几何的逻辑关系还没有弄清，从笛沙格到沙勒都用了长度的概念（交比的概念就是用长度定义的），但长度不是射影概念，它在射影变换下发生改变。Karl Georg Christian Von Staudt(1798-1867)是埃尔朗根教授，他对逻辑基础感兴趣，决心使射影几何摆脱对长度和迭合的依赖，他提出在射影的基础上引入一种类似长度的东西“投的代数”，在直线上任选三个点，给它们指定符号0,1,∞，然后用莫比乌斯的几何作图法“投”给任意一点P配上一个符号。 从直线上标着0和1的点出发，过平行线上一点M作0M，然后作1N平行于0M，再画出1M，作N2平行于1M，显然01=12，因为平行四边形对边相等，这样就用几何作图把01的长度转到12了。