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绝密★启用前河南省2022年1月普通高中学业水平考试数学仿真模拟试卷（卷一）（本试题卷共5页，三大题，29小题，满分100分，考试时间120分钟）一．选择题（共16小题，满分48分，每小题3分）1．（3分）已知集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（　　）A．{4} B．{1，6} C．{2，4} D．{1，2，4，6}2．（3分）函数f（x）＝的定义域是（　　）A．（] B．[，+∞） C．（﹣] D．（﹣∞，+∞）3．（3分）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，它的终边经过点（4，3），则cosα＝（　　）A．﹣ B． C． D．4．（3分）函数f（x）＝x+sinx的大致图象是（　　）A． B．C． D．5．（3分）一元二次不等式x2﹣7x＜0的解集是（　　）A．{x|0＜x＜7} B．{x|x＜0或x＞7} C．{x|﹣7＜x＜0} D．{x|x＜﹣7或x＞0}6．（3分）过点P（2，1）与直线2x﹣y+1＝0平行的直线的方程是（　　）A．2x﹣y﹣3＝0 B．x+2y﹣4＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．2x+y﹣5＝07．（3分）犇犇同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　）A．三次都中靶 B．只要两次中靶C．只有一次中靶 D．三次均未中靶8．（3分）在等差数列{an}中，若a5＝﹣15，a10＝﹣10，则a20＝（　　）A．﹣20 B．﹣5 C．0 D．59．（3分）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＝（　　）A． B． C． D．10．（3分）圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0上的点到直线x+y+2＝0的距离最大为（　　）A． B．2 C．3 D．2+211．（3分）α，β，γ为三个平面，a，b，c为三条直线，且α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，若a∥b，则c和a，b的位置关系是（　　）A．c和a，b都异面B．c和a，b都相交C．c和a，b都平行D．c至少与a，b中的一条相交12．（3分）在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两解的是（　　）A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70° B．a＝20，c＝48，∠B＝60°C．a＝7，b＝5，∠A＝98° D．a＝14，b＝16，∠A＝45°13．（3分）把函数y＝sinx的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，再把y＝g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（　　）A． B．C． D．14．（3分）已知a＞0．那么的最小值是（　　）A．1 B．2 C．4 D．515．（3分）若实数x，y满足不等式组则x+2y的最大值是（　　）A．0 B．4 C．8 D．1216．（3分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx（a，b∈R），满足f（1﹣x）＝f（1+x），且在区间[﹣1，0]上的最大值为3，若函数g（x）＝|f（x）|﹣mx有唯一零点，则实数m的取值范围是（　　）A．[﹣2，0] B．[﹣2，0）∪[2，+∞）C．[﹣2，0） D．（﹣∞，0）∪[2，+∞）二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）17．（3分）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1），则|+2|＝　 　．18．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为7，则输出的x的值为 　 　．19．（3分）若cos（π﹣x）+cos（+x）＝，则sin2x＝　 　．20．（3分）某组统计数据的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 　 　．21．（3分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝A1B1＝A1C1＝4，点E是棱CC1上一点，且，则异面直线A1B与AE所成角的余弦值为 　 　．22．（3分）已知直线x﹣my+1﹣m＝0被圆O：x2+y2＝4所截得的弦长为，则m＝　 　．23．（3分）如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝，若，，则BC＝　 　．三．解答题（共6小题，满分31分）24．（4分）已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12＝0，BC：4x﹣3y+16＝0，CA：2x+y﹣2＝0（1）求直线AB与直线BC的交点B的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线方程．25．（4分）等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn．26．（5分）从某高校随机抽样1000名学生，获得了它们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]．（1）求这1000名学生中该周课外阅读时间在（8，10]范围内的学生人数；（2）估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率27．（5分）已知函数．（1）写出f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最小值和最大值．28．（6分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD．（1）求证：AC⊥平面PBD；（2）若PD＝2，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．29．（7分）已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x2﹣b2|，其中a，b，x∈R．（Ⅰ）若y＝f（x）是偶函数，求实数a的值；（Ⅱ）当a＝b＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意x∈[0，1]，都有f（x）≤a+b2恒成立，求实数a+b2的最小值．第1页（共1页）绝密★启用前河南省2022年1月普通高中学业水平考试数学仿真模拟试卷（卷二）（本试题卷共5页，三大题，29小题，满分100分，考试时间120分钟）一．选择题（共16小题，满分48分，每小题3分）1．（3分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，3}，B＝{2，3，5}．则A∩（ UB）＝（　　）A．{0，1} B．{0，1，3，4} C．{1，3} D．{0，1，3}2．（3分）函数f（x）＝的定义域为（　　）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，4]C．[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞）3．（3分）已知函数，则f（f（﹣1））＝（　　）A．2 B． C．1 D．﹣14．（3分）已知圆心为（﹣2，1）的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是（　　）A．（x+2）2+（y﹣1）2＝4 B．（x+2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣2）2+（y+1）2＝4 D．（x﹣2）2+（y+1）2＝15．（3分）如图，点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是（　　）A．①④ B．②④ C．③④ D．②③6．（3分）函数y＝x2﹣2x﹣3的零点是（　　）A．（﹣1，0），（3，0） B．x＝﹣1C．x＝3 D．﹣1和37．（3分）sin141°cos21°+cos39°sin21°＝（　　）A．﹣ B． C． D．8．（3分）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为﹣3，那么输入的x为（　　）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣2或29．（3分）设D，E分别为△ABC两边BC，CA的中点，则＝（　　）A． B． C． D．10．（3分）在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为（　　）A．0.49 B．49 C．0.51 D．5111．（3分）不等式1+5x﹣6x2＞0的解集为（　　）A．{x|x＞1，或x＜﹣} B．{x|﹣＜x＜1}C．{x|x＞2，或x＜﹣3} D．{x|﹣3＜x＜2}12．（3分）已知曲线C1：y＝cosx，C2：，则下面结论正确的是（　　）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线C213．（3分）为了得到函数y＝3sin2x的图象，只要将函数y＝3sin（2x﹣1）的图象（　　）A．向左平移1个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移1个单位长度 D．向右平移个单位长度14．（3分）在△ABC中，若a＝5，c＝10，A＝30°，则B＝（　　）A．15°或105° B．45°或105° C．15° D．105°15．（3分）函数的图像关于（　　）A．y轴对称 B．直线y＝﹣x对称C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称16．（3分）已知函数f（x）满足f（﹣x+1）﹣2＝﹣f（x+1）+2，g（x）＝，且f（x）与g（x）的图像的交点为（x1，y1），（x2，y2）， ，（x6，y6），则x1+x2+ +x6+y1+y2+ +y6＝（　　）A．0 B．6 C．12 D．18二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）17．（3分）函数的最小正周期为　 　．18．（3分）已知﹣1，a，﹣4成等差数列，﹣1，b，﹣4成等比数列，则ab＝　 　．19．（3分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为2：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为54的样本，则应从高三年级抽取 　 　名学生．20．（3分）已知x＞0，则的最小值为 　 　．21．（3分）已知角α的终边经过点（3，﹣4），则＝　 　．22．（3分）如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为 　 　23．（3分）若直线l1：2x+y+a＝0与直线l2：ax﹣y﹣3＝0平行，则直线l1与l2之间的距离为 　 　．三．解答题（共6小题，满分31分）24．（4分）已知向量＝（4，﹣3），＝（m，6）．（1）若m＝3，求向量，夹角的余弦值；（2）若，求的值．25．（4分）已知圆C经过A（0，），B（1，2）两点，且圆心在直线x＝1上．（1）求圆C的方程；（2）求过点P（0，2）且与圆C相切的直线方程．26．（5分）已知数列{an}满足an+1+3＝an，且a1＝7．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝﹣3，求m．27．（5分）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数和第60%分位数（分位数精确到0.1）；（Ⅲ）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．28．（6分）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinB+bcosA＝c，线段BC的中点为D．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）已知，求∠ADB的大小．29．（7分）如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（1）求证：BD1∥平面AEC；（2）CC1上是否存在一点F，使得平面AEC∥平面BFD1，若存在请说明理由．第1页（共1页）河南省2022年1月普通高中学业水平考试数学仿真模拟试卷（卷二）参考答案与试题解析一．选择题（共16小题，满分48分，每小题3分）1．（3分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，3}，B＝{2，3，5}．则A∩（ UB）＝（　　）A．{0，1} B．{0，1，3，4} C．{1，3} D．{0，1，3}【解析】由已知结合集合补集及交集的定义即可直接求解．【解答】解：因为U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，3}，B＝{2，3，5}，则A∩（ UB）＝{0，1，3}∩{0，1，4}＝{0，1}．答案：A．2．（3分）函数f（x）＝的定义域为（　　）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，4]C．[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞）【解析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：由题意得，，解得x≤4且x≠﹣1，答案：B．3．（3分）已知函数，则f（f（﹣1））＝（　　）A．2 B． C．1 D．﹣1【解析】直接利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解即可．【解答】解：因为，所以f（﹣1）＝（﹣1）2+1＝2，所以f（f（﹣1））＝f（2）＝．答案：B．4．（3分）已知圆心为（﹣2，1）的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是（　　）A．（x+2）2+（y﹣1）2＝4 B．（x+2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣2）2+（y+1）2＝4 D．（x﹣2）2+（y+1）2＝1【解析】利用圆心到切线的距离等于半径，求出半径r，即可得到圆的标准方程．【解答】解：因为圆心为（﹣2，1）的圆与y轴相切，则半径r＝2，所以圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝4．答案：A．5．（3分）如图，点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是（　　）A．①④ B．②④ C．③④ D．②③【解析】根据题意，依次解析4种情况下直线GH，MN的位置关系，综合可得答案．【解答】解：根据题意，在①中，MG∥HN且MG＝NH，则四边形MGHN是平行四边形，有HG∥MN，不是异面直线；在②中，直线GH，MN既不平行也不相交，是异面直线；在③中，GM∥HN且GM≠HN，故HG，NM必相交，不是异面直线；在④中，直线GH，MN既不平行也不相交，是异面直线；综合可得：②④正确；答案：B．6．（3分）函数y＝x2﹣2x﹣3的零点是（　　）A．（﹣1，0），（3，0） B．x＝﹣1C．x＝3 D．﹣1和3【解析】由函数零点的定义，令x2﹣2x﹣3＝0，求解出x的值即为答案．【解答】解：令x2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣3）（x+1）＝0，所以x1＝﹣1，x2＝3．故函数的零点是﹣1和3．答案：D．7．（3分）sin141°cos21°+cos39°sin21°＝（　　）A．﹣ B． C． D．【解析】用诱导公式将sin141°转化为sin39°，再用两角和与差公式的逆向运用可得结果．【解答】解：原式＝sin（180°﹣39°）cos21°+cos39°sin21°＝sin39°cos21°+cos39°sin21°＝sin（39°+21°）＝sin60°＝，答案：D．8．（3分）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为﹣3，那么输入的x为（　　）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出y＝，根据输出的结果为﹣3，得出输入的x的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出y＝，由于，解集为空，所以，解得：x＝﹣2，答案：C．9．（3分）设D，E分别为△ABC两边BC，CA的中点，则＝（　　）A． B． C． D．【解析】利用向量的数乘和线性运算即可求解．【解答】解：因为D，E分别为△ABC两边BC，CA的中点，所以＝（+）+（﹣）＝（+）+（﹣）＝．答案：D．10．（3分）在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为（　　）A．0.49 B．49 C．0.51 D．51【解析】利用频率的定义，求出正面朝上的次数，从而得到正面朝下的次数．【解答】解：由题意，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则正面朝上的次数为49次，所以正面朝下的次数为100﹣49＝51次．答案：D．11．（3分）不等式1+5x﹣6x2＞0的解集为（　　）A．{x|x＞1，或x＜﹣} B．{x|﹣＜x＜1}C．{x|x＞2，或x＜﹣3} D．{x|﹣3＜x＜2}【解析】把不等式化为6x2﹣5x﹣1＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式1+5x﹣6x2＞0可化为6x2﹣5x﹣1＜0，即（x﹣1）（6x+1）＜0，解得﹣＜x＜1，所以不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}．答案：B．12．（3分）已知曲线C1：y＝cosx，C2：，则下面结论正确的是（　　）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解析】利用诱导公式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：曲线C2：＝cos（2x+）＝cos2（x+），把C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得y＝cos2x的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，可以得到曲线C2：y＝cos2（x+）＝sin（2x+）的图象，答案：C．13．（3分）为了得到函数y＝3sin2x的图象，只要将函数y＝3sin（2x﹣1）的图象（　　）A．向左平移1个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移1个单位长度 D．向右平移个单位长度【解析】根据函数的图象的平移变换，直接求出结果即可．【解答】解：为了得到函数y＝3sin2x的图象，只要将函数y＝3sin（2x﹣1）的图象向左平移个单位即可．答案：B．14．（3分）在△ABC中，若a＝5，c＝10，A＝30°，则B＝（　　）A．15°或105° B．45°或105° C．15° D．105°【解析】根据正弦定理求出C的值，从而求出B的值即可．【解答】解：∵＝，∴＝，∴sinC＝，∵a＜c，∴c＝45°或135°，∴B＝15°或105°，答案：A．15．（3分）函数的图像关于（　　）A．y轴对称 B．直线y＝﹣x对称C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称【解析】利用为奇函数可得答案．【解答】解：∵（x≠0），∴f（﹣x）＝﹣﹣（﹣x）＝﹣（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，其图像关于坐标原点对称，答案：C．16．（3分）已知函数f（x）满足f（﹣x+1）﹣2＝﹣f（x+1）+2，g（x）＝，且f（x）与g（x）的图像的交点为（x1，y1），（x2，y2）， ，（x6，y6），则x1+x2+ +x6+y1+y2+ +y6＝（　　）A．0 B．6 C．12 D．18【解析】分别判断函数f（x）与g（x）的对称性，结合函数的对称性进行求解即可．【解答】解：因为函数f（x）满足f（﹣x+1）﹣2＝﹣f（x+1）+2，所以y＝f（x+1）﹣2为奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，g（x）＝＝+2关于点（1，2）对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，则（x1+x2+…+x6）+（y1+y2+…+y6）＝2×3+4×3＝18，答案：D．二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）17．（3分）函数的最小正周期为　2π　．【解析】根据函数y＝tanx的最小正周期为π，进而可求得函数的最小正周期．【解答】解：T＝＝2π答案2π18．（3分）已知﹣1，a，﹣4成等差数列，﹣1，b，﹣4成等比数列，则ab＝　±5　．【解析】根据题意可得b2＝（﹣1）×（﹣4）＝4，b2＝（﹣1）×（﹣4）＝4，从而求出a与b即可得到ab的值．【解答】解：由﹣1，a，﹣4构成等差数列，得2a＝﹣1﹣4，解得a＝﹣，又﹣1，b，﹣4构成等比数列，得b2＝（﹣1）×（﹣4）＝4，解得b＝±2，所以ab＝（﹣）×（±2）＝±5．答案：±5．19．（3分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为2：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为54的样本，则应从高三年级抽取 　24　名学生．【解析】根据分层抽样确定抽样比，计算可得结果．【解答】解：根据分层抽样的定义可得，从高三年级抽取的学生数为：54×＝24人．答案：24．20．（3分）已知x＞0，则的最小值为 　2﹣1　．【解析】由基本不等式得≥2﹣1，再检验等号是否成立即可．【解答】解：≥2﹣1，当且仅当x＝，即x＝时，等号成立，故的最小值为2﹣1．答案：2﹣1．21．（3分）已知角α的终边经过点（3，﹣4），则＝　　．【解析】利用意角的三角函数的定义，求出sinα，cosα的值，代入运算即可求解．【解答】解：由于角α的终边经过点（3，﹣4），可得sinα＝＝﹣，cosα＝＝，故＝﹣+＝．答案：．22．（3分）如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为 　5π　【解析】设底面圆半径为r，由母线长求出侧面展开扇形的圆心角，利用余弦定理求出从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B的最短距离，列方程求出r的值，再计算圆锥的表面积．【解答】解：设底面圆半径为r，由母线长为4，所以侧面展开扇形的圆心角为α＝＝；将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，最短距离为BM，如图所示：在△ABM中，由余弦定理得，BM的长度为：BM＝＝＝2，解得cos＝0，所以r＝1，所以圆锥的表面积为S＝π×12+π×1×4＝5π．答案：5π．23．（3分）若直线l1：2x+y+a＝0与直线l2：ax﹣y﹣3＝0平行，则直线l1与l2之间的距离为 　　．【解析】先根据两直线平行求出a的值，得到两直线的方程，再利用两平行线间的距离公式求解．【解答】解：∵直线l1：2x+y+a＝0与直线l2：ax﹣y﹣3＝0平行，∴a＝﹣2，即直线l1：2x+y﹣2＝0，直线l2：2x+y+3＝0，∴直线l1与l2之间的距离d＝＝，答案：．三．解答题（共6小题，满分31分）24．（4分）已知向量＝（4，﹣3），＝（m，6）．（1）若m＝3，求向量，夹角的余弦值；（2）若，求的值．【解析】（1）由cos＜，＞＝，得解；（2）先由，解出m的值，再根据平面向量的混合运算法则，即可得解．【解答】解：（1）∵＝（4，﹣3），＝（3，6），∴ ＝12﹣18＝﹣6，||＝5，||＝3，∴向量，夹角的余弦值为cos＜，＞＝＝＝﹣．（2）∵，∴24＝﹣3m，解得m＝﹣8，∴ ＝﹣32﹣18＝﹣50，||＝5，||＝10，∴＝2+﹣＝2×52+（﹣50）﹣102＝﹣100．25．（4分）已知圆C经过A（0，），B（1，2）两点，且圆心在直线x＝1上．（1）求圆C的方程；（2）求过点P（0，2）且与圆C相切的直线方程．【解析】（1）根据题意，设圆心的坐标为（1，t），由A、B的坐标可得关于t的方程，解可得t的值，求出圆的半径，即可得答案；（2）根据题意，解析可得切线的斜率一定存在，设切线的斜率为k，可得切线的方程，由直线与圆的位置关系可得关于k的方程，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，设圆心C的坐标为（1，t），则有1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，解可得t＝0，即圆心的坐标为（1，0），圆的半径r＝＝2，则圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0；（2）根据题意，圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，过点P（0，2）作圆的切线，斜率必定存在，设切线的斜率为k，则切线的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0；则有d＝＝2，解可得k＝0或；故切线的方程为y＝2或4x﹣3y+6＝0．26．（5分）已知数列{an}满足an+1+3＝an，且a1＝7．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝﹣3，求m．【解析】（1）由an+1+3＝an，得an+1﹣an＝﹣3，则数列{an}是以﹣3为公差的等差数列，结合a1＝7即可得到{an}的通项公式；（2）由（1）可得Sn＝（a1+an）＝（7﹣3n+10）＝（﹣3n+17），从而令Sm＝（﹣3m+17）＝﹣3即可求出m的值．【解答】解：（1）由an+1+3＝an，得an+1﹣an＝﹣3，则数列{an}是以﹣3为公差的等差数列，又a1＝7，所以an＝7﹣3（n﹣1）＝﹣3n+10；（2）由（1）可得Sn＝（a1+an）＝（7﹣3n+10）＝（﹣3n+17），则Sm＝（﹣3m+17）＝﹣3，即3m2﹣17m﹣6＝0，解得m＝6或m＝﹣（舍去），∴m＝6．27．（5分）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数和第60%分位数（分位数精确到0.1）；（Ⅲ）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．【解析】（Ⅰ）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得a，b；（Ⅱ）根据直方图中各个数字特征的求法运算即可；（Ⅲ）分层抽样确定2个分组的人数，古典概型进行计算．【解答】解：（Ⅰ）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以（0.045+0.020+a）×10＝0.7，解得a＝0.005，所以前两组的频率之和为1﹣0.7＝0.3，即（a+b）×10＝0.3，所以b＝0.025；（Ⅱ）众数为70，平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05＝69.5，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第60%分位数在第三组，且为65+＝71.7，；（Ⅲ）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从这两个分组各抽4人，1人，则从这5人中选出2人，两人来自不同组的概率为＝．28．（6分）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinB+bcosA＝c，线段BC的中点为D．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）已知，求∠ADB的大小．【解析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB＝1，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（Ⅱ）设c＝1，由正弦定理可得b＝，由余弦定理可求a的值，进而可求BD的值，在△ABD中，由余弦定理可求AD的值，可得AB2+AD2＝BD2，可求∠BAD＝，进而可得∠ADB的值．【解答】解：（Ⅰ）因为asinB+bcosA＝c，所以由正弦定理可得sinAsinB+sinBcosA＝sinC，又sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以sinAsinB+sinBcosA＝sinAcosB+cosAsinB，可得sinAsinB＝sinAcosB，因为sinA≠0，所以sinB＝cosB，即tanB＝1，因为B∈（0，π），所以B＝．（Ⅱ）因为B＝，，设c＝1，在△ABC中，由正弦定理有，可得＝，可得b＝，由余弦定理有a2+c2﹣2accosB＝b2，整理得（a﹣2）（a+）＝0，由于a＞0，所以a＝2，BD＝＝，在△ABD中，由余弦定理有AD＝＝1，所以AB2+AD2＝BD2，所以∠BAD＝，可得∠ADB＝．29．（7分）如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（1）求证：BD1∥平面AEC；（2）CC1上是否存在一点F，使得平面AEC∥平面BFD1，若存在请说明理由．【解析】（1）连结BD交AC于O，连结EO．由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明；（2）CC1上的中点F即满足平面AEC∥平面BFD1．由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，可得结论．【解答】解：（1）证明：连结BD交AC于O，连结EO．因为ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，底面ABCD为正方形，对角线AC、BD交于O点，所以O为BD的中点，又因为E为DD1的中点，在△DBD1中，OE是△DBD1的中位线，则OE∥BD1，又OE 平面AEC，BD1 平面AEC，所以BD1∥平面AEC；（2）CC1上的中点F即满足平面AEC∥平面BFD1．因为F为CC1的中点，E为DD1的中点，所以CF∥ED1，所以四边形CFD1E为平行四边形，所以D1F∥EC，又因为EC 平面AEC，D1F 平面AEC，所以D1F∥平面AEC；由（1）知BD1∥平面AEC，又因为BD1∩D1F＝D1，所以平面AEC∥平面BFD1．第1页（共1页）河南省2022年1月普通高中学业水平考试数学仿真模拟试卷（卷三）（本试题卷共5页，三大题，29小题，满分100分，考试时间120分钟）参考答案与解析一、选择题（共16题，共48分）（3分）已知集合 ，，则A． B．C． D．【答案】B【解析】因为集合 ，，所以 ．（3分）函数 的定义域为A． B．C． D．【答案】C【解析】由 得 且 ．故选C．（3分）函数 的单调递减区间是A． B．C． 和 D．【答案】C【解析】函数 在 和 均单调递减，故单调递减区间为 和 ．故选：C．（3分）函数 的大致图象是A． B． C． D．【答案】B（3分）在等差数列 中，，，则 的值是A． B． C． D．【答案】A【解析】因为 为等差数列，所以 ，所以 ，因为 ，，，所以 ，．（3分）设 ，用二分法求方程 在 内近似解的过程中得 ，，，则方程的根落在A． B． C． D．不能确定【答案】B【解析】由 ， 可得方程 的根落在 上．（3分）不等式 的解集为A． B．C． D．【答案】A【解析】因为 ，所以 ，所以 或 ，故不等式 的解集为 ．（3分）如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中A． B． C． D．【答案】C【解析】把正方体的展开图还原成正方体，得到如图所示的正方体，由正方体性质得， 与 相交， 与 异面， 与 平行， 与 异面．（3分）过点 ，斜率是直线 的斜率的 的直线方程为A． B．C． D．【答案】A【解析】设所求直线的斜率为 ，由已知得 ，又因为直线过点 ，所以直线方程为 ，整理可得 ．（3分）围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出 粒， 粒都是黑子的概率为 ，都是白子的概率为 ，则取出的 粒颜色不同的概率为A． B． C． D．【答案】D【解析】 粒都是黑子或 粒都是白子的概率为 ，取出的 粒颜色不同的概率为 ．（3分）已知点 在第二象限，则角 的终边在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D（3分）圆 与圆 的公共点的个数是A． B． C． D．【答案】C【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，两圆圆心距为 ，因为 ，所以两圆相交，所以两圆的公共点的个数是 ．（3分）如图所示， 是正六边形 的中心，则A． B． C． D．【答案】A【解析】因为 ，，所以（3分）已知函数 （，）的图象如图所示，则 的值为A． B． C． D．【答案】C（3分）已知 ，则A． B． C． D．【答案】D（3分）已知函数 满足 ，，则 等于A． B． C． D．【答案】D【解析】，，则 是以 为周期的周期函数，从而 ．二、填空题（共7题，共21分）（3分） 的值是 ．【答案】【解析】（3分）在等比数列 中，，，则公比 ．【答案】 或【解析】因为 ，所以 且 ，所以 ，解得 或 ．（3分）已知实数 ， 满足约束条件 求目标函数 的最小值 ．【答案】（3分）已知平面直角坐标系中，点 ，，直线 ，则直线 与直线 的交点坐标为 ．【答案】【解析】由题意得，直线 的方程为 ，即 ．由 得所以直线 与直线 的交点坐标为 ．（3分）某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：人）．学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取 人，结果篮球组被抽出 人，则 的值为 ．【答案】【解析】由题意知 ，解得 ．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．【答案】【解析】由三视图可知，该几何体由上部四棱柱、下部圆柱组成的组合体，四棱柱的底面为边长为 的正方形，高为 ，故体积为：，圆柱的底面圆直径为 ，高为 ，故体积为：，所求体积为 ，故答案为：．（3分）若函数 在区间 上有两个不同的零点 ，，则 的取值范围是 ．【答案】三、解答题（共6题，共31分）（4分）智能手机的出现改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间．某市教育机构从 名手机使用者中随机抽取 名，得到每天使用手机的时间（单位：分钟）的频率分布直方图如图所示，其分组是 ，，，，．(1) 根据频率分布直方图，估计这 名手机使用者每天使用手机的时间的中位数是多少分钟．（精确到整数）(2) 估计这 名手机使用者平均每天使用手机多少分钟．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）(3) 在抽取的 名手机使用者中，从每天使用手机的时间在 和 的手机使用者中按比例分别抽取 人和 人组成研究小组，再从研究小组中选出 名组长，求这 名组长分别选自 和 的概率．【答案】(1) 设中位数为 ，则 ，解得 ．所以这 名手机使用者每天使用手机的时间的中位数是 分钟．(2) 估计这 名手机使用者平均每天使用手机的时间为 （分钟）．(3) 设每天使用手机的时间在 内抽取的两人分别为 ，，在 内抽取的三人分别为 ，，，则从五人中选出两人共有以下 种情况：，，，，，，，，，，两名组长分别选自 和 的情况共有以下 种：，，，，，，所以所求概率 ．（4分）在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，．已知 ，，．(1) 求角 的大小；(2) 求 的值；(3) 求 的值．【答案】(1) 在 中，由余弦定理及 ，，，得 ．又因为 ，所以 ．(2) 在 中，由正弦定理及 ，，，可得 ．(3) 由 及 ，可得 ，进而 ，．所以（5分）已知向量 ，．(1) 若 ，求 的值；(2) 若 ，求向量 与 夹角的大小．【答案】(1) 因为 ，，所以 ，由 ，可得 ，即 ，解得 ，即 ，所以 ．(2) 依题意 ，可得 ，即 ，所以 ，因为 ,所以 与 的夹角大小是 ．（5分）已知等差数列 和等比数列 满足 ，，．(1) 求 的通项公式；(2) 求和：．【答案】(1) 设等差数列 的公差为 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ．(2) 设 的公比为 ，由 得 ，所以 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ．（6分）如图，在四棱锥 中，，，，，．(1) 求证：；(2) 求点 到平面 的距离．【答案】(1) 因为 ，，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ．(2) 设点 到平面 的距离为 ，因为 ， 为三棱锥 的高，，，由 ，得 ，即 ，解得 ，所以点 到平面 的距离为 ．（7分）已知两点 ，，圆 以线段 为直径．(1) 求圆 的方程；(2) 求过点 的圆 的切线方程．【答案】(1) 由题意，得圆心 的坐标 ，直径 ，故半径 ，所以，圆 的方程为 ．(2) 因为 ，所以点 在圆 外部．（）当过点 的直线斜率不存在时，直线方程为 ，即 ，又点 到直线 的距离 ，即此时满足题意，所以直线 是圆的切线．（）当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，则圆心 到切线的距离 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ，综上可得，过点 的圆 的切线方程为 或 ．绝密★启用前河南省2022年1月普通高中学业水平考试数学仿真模拟试卷（卷三）（本试题卷共5页，三大题，29小题，满分100分，考试时间120分钟）一、选择题（共16题，共48分）（3分）已知集合 ，，则A． B．C． D．（3分）函数 的定义域为A． B．C． D．（3分）函数 的单调递减区间是A． B．C． 和 D．（3分）函数 的大致图象是A． B． C． D．（3分）在等差数列 中，，，则 的值是A． B． C． D．（3分）设 ，用二分法求方程 在 内近似解的过程中得 ，，，则方程的根落在A． B． C． D．不能确定（3分）不等式 的解集为A． B．C． D．（3分）如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中A． B． C． D．（3分）过点 ，斜率是直线 的斜率的 的直线方程为A． B．C． D．（3分）围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出 粒， 粒都是黑子的概率为 ，都是白子的概率为 ，则取出的 粒颜色不同的概率为A． B． C． D．（3分）已知点 在第二象限，则角 的终边在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（3分）圆 与圆 的公共点的个数是A． B． C． D．（3分）如图所示， 是正六边形 的中心，则A． B． C． D．（3分）已知函数 （，）的图象如图所示，则 的值为A． B． C． D．（3分）已知 ，则A． B． C． D．（3分）已知函数 满足 ，，则 等于A． B． C． D．二、填空题（共7题，共21分）（3分） 的值是 ．（3分）在等比数列 中，，，则公比 ．（3分）已知实数 ， 满足约束条件 求目标函数 的最小值 ．（3分）已知平面直角坐标系中，点 ，，直线 ，则直线 与直线 的交点坐标为 ．（3分）某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：人）．学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取 人，结果篮球组被抽出 人，则 的值为 ．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．（3分）若函数 在区间 上有两个不同的零点 ，，则 的取值范围是 ．三、解答题（共6题，共31分）（4分）智能手机的出现改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间．某市教育机构从 名手机使用者中随机抽取 名，得到每天使用手机的时间（单位：分钟）的频率分布直方图如图所示，其分组是 ，，，，．(1) 根据频率分布直方图，估计这 名手机使用者每天使用手机的时间的中位数是多少分钟．（精确到整数）(2) 估计这 名手机使用者平均每天使用手机多少分钟．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）(3) 在抽取的 名手机使用者中，从每天使用手机的时间在 和 的手机使用者中按比例分别抽取 人和 人组成研究小组，再从研究小组中选出 名组长，求这 名组长分别选自 和 的概率．（4分）在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，．已知 ，，．(1) 求角 的大小；(2) 求 的值；(3) 求 的值．（5分）已知向量 ，．(1) 若 ，求 的值；(2) 若 ，求向量 与 夹角的大小．（5分）已知等差数列 和等比数列 满足 ，，．(1) 求 的通项公式；(2) 求和：．（6分）如图，在四棱锥 中，，，，，．(1) 求证：；(2) 求点 到平面 的距离．（7分）已知两点 ，，圆 以线段 为直径．(1) 求圆 的方程；(2) 求过点 的圆 的切线方程．河南省2022年1月普通高中学业水平考试数学仿真模拟试卷（卷一）参考答案与试题解析一．选择题（共16小题，满分48分，每小题3分）1．（3分）已知集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（　　）A．{4} B．{1，6} C．{2，4} D．{1，2，4，6}【解析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，∴A∪B＝{1，2，4，6}．答案：D．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（3分）函数f（x）＝的定义域是（　　）A．（] B．[，+∞） C．（﹣] D．（﹣∞，+∞）【解析】由根式内部的代数式大于等于0求解x的范围得答案．【解答】解：由2x+1≥0，解得x．∴函数f（x）＝的定义域是[，+∞）．答案：B．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3．（3分）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，它的终边经过点（4，3），则cosα＝（　　）A．﹣ B． C． D．【解析】由任意角的三角函数的定义可得cosα的值．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，∵角α以Ox为始边，它的终边经过点（4，3），∴cosα＝＝，答案：B．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．（3分）函数f（x）＝x+sinx的大致图象是（　　）A． B．C． D．【解析】通过求导，判断函数的单调性，即可得解．【解答】解：因为f（x）＝x+sinx，所以f'（x）＝1+cosx≥0恒成立，所以函数f（x）在R上单调递增，对比选项，只有A符合题意．答案：A．【点评】本题主要考查函数的图象与性质，利用导数判断函数的单调性是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．5．（3分）一元二次不等式x2﹣7x＜0的解集是（　　）A．{x|0＜x＜7} B．{x|x＜0或x＞7} C．{x|﹣7＜x＜0} D．{x|x＜﹣7或x＞0}【解析】不等式化为x（x﹣7）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣7x＜0可化为x（x﹣7）＜0，解得0＜x＜7，所以不等式的解集是{x|0＜x＜7}．答案：A．【点评】本题一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．6．（3分）过点P（2，1）与直线2x﹣y+1＝0平行的直线的方程是（　　）A．2x﹣y﹣3＝0 B．x+2y﹣4＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．2x+y﹣5＝0【解析】由题意利用两直线平行的性质，用待定系数法求出直线的方程．【解答】解：设过点P（2，1）与直线2x﹣y+1＝0平行的直线的方程为2x﹣y+c＝0，把点P（2，1）代入，可得4﹣1+c＝0，求得c＝﹣3，可得要求的直线的方程为2x﹣y﹣3＝0，答案：A．【点评】本题主要考查两直线平行的性质，用待定系数法求出直线的方程，属于基础题．7．（3分）犇犇同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　）A．三次都中靶 B．只要两次中靶C．只有一次中靶 D．三次均未中靶【解析】根据互斥事件的定义，逐一判断四个选项与事件“至少有一次中靶”的关系即可．【解答】解：事件“至少有一次中靶”包含事件“三次都中靶”，“只要两次中靶”，“只有一次中靶”，事件“三次均未中靶”与事件“至少有一次中靶”是互斥事件，答案：D．【点评】本题考查了互斥事件的定义与判断，难度不大，属于基础题．8．（3分）在等差数列{an}中，若a5＝﹣15，a10＝﹣10，则a20＝（　　）A．﹣20 B．﹣5 C．0 D．5【解析】由等差数列的性质an﹣am＝（n﹣m）d，得a10﹣a5＝5d，求出公差d，及a20．【解答】解：等差数列{an}中，若a5＝﹣15，a10＝﹣10，a10﹣a5＝5d，d＝＝＝1，所以a20＝a5+15d＝﹣15+15×1＝0，答案：C．【点评】本题考查等差数列的性质，属于中档题．9．（3分）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＝（　　）A． B． C． D．【解析】利用平行四边形法则做出向量，再进行平移，利用向量相等的条件，可得 ．【解答】解：设，以OP、OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP、OQ之间的对角线对应的向量即为向量，由和长度相等，方向相同，∴，答案：C．【点评】本题考查向量的加法及其几何意义，向量相等的条件，利用向量相等的条件是解题的关键．10．（3分）圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0上的点到直线x+y+2＝0的距离最大为（　　）A． B．2 C．3 D．2+2【解析】圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0上的点到直线x+y+2＝0的距离最大是：d+r，其中d是圆心到直线的距离．计算出即可．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，∴圆心（1，1），半径r＝．∴圆心到直线的距离d＝＝2，∴圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0上的点到直线x+y+2＝0的距离最大为2+＝3．答案：C．【点评】明确圆上的点到直线的最大距离的计算方法是解题的关键．11．（3分）α，β，γ为三个平面，a，b，c为三条直线，且α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，若a∥b，则c和a，b的位置关系是（　　）A．c和a，b都异面B．c和a，b都相交C．c和a，b都平行D．c至少与a，b中的一条相交【解析】由α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，运用线面平行的判定定理和性质定理能推导出c∥a，c∥b．【解答】解：α，β，γ为三个平面，a，b，c为三条直线，∵α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，∴运用线面平行的判定定理和性质定理得：c∥a，c∥b．答案：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．（3分）在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两解的是（　　）A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70° B．a＝20，c＝48，∠B＝60°C．a＝7，b＝5，∠A＝98° D．a＝14，b＝16，∠A＝45°【解析】A、由A和C的度数，利用三角形的内角和定理求出B的度数，从而得到sinA，sinB及sinC的值，再由b的值，利用正弦定理求出a与c的值，本选项只有一解；B、由a，c及cosB的值，利用余弦定理求出b的值，再利用余弦定理表示出cosC，发现其值小于0，即C为钝角，c为最大边，故本选项只有一解；C、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由A为钝角，即为三角形的最大角，得到B只有一解，从而求出c也只有一解；D、由a，b及sinA，利用正弦定理求出sinB的值，再由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B有两解，本选项有两解．【解答】解：A、由∠A＝45°，∠C＝70°，得到∠B＝65°，又b＝10，根据正弦定理＝＝得：a＝，c＝，本选项只有一解；B、由a＝20，c＝48，∠B＝60°，根据余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cosB＝400+2304﹣960＝1744，∴b2＝1744，则cosC＝＜0，得到C为钝角，故c为最大边，本选项只有一解；C、由a＝7，b＝5，∠A＝98°，根据正弦定理＝得，sinB＝，由∠A＝98°为钝角，即最大角，得到B只能为锐角，故本选项只有一解；D、由a＝14，b＝16，∠A＝45°，根据正弦定理＝得：sinB＝＝，由0＜B＜135°，则B有两解，B＝arcsin或π﹣，本选项有两解，答案：D．【点评】此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．同时注意角度的范围．13．（3分）把函数y＝sinx的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，再把y＝g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（　　）A． B．C． D．【解析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数y＝sinx的图象向右平移个单位得到y＝g（x）＝sin（x﹣）的图象，再把y＝g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为y＝2sin（x﹣），答案：A．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．14．（3分）已知a＞0．那么的最小值是（　　）A．1 B．2 C．4 D．5【解析】根据题意，由基本不等式的性质可得≥2＝4，即可得答案．【解答】解：根据题意，a＞0，则≥2＝4，当且仅当a＝2时等号成立，即的最小值是4；答案：C．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式．15．（3分）若实数x，y满足不等式组则x+2y的最大值是（　　）A．0 B．4 C．8 D．12【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求解结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z＝x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A（0，4）时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z＝x+2y得z＝0+2×4＝8．即目标函数z＝x+2y的最大值为8．答案：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．16．（3分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx（a，b∈R），满足f（1﹣x）＝f（1+x），且在区间[﹣1，0]上的最大值为3，若函数g（x）＝|f（x）|﹣mx有唯一零点，则实数m的取值范围是（　　）A．[﹣2，0] B．[﹣2，0）∪[2，+∞）C．[﹣2，0） D．（﹣∞，0）∪[2，+∞）【解析】由题意可得直线x＝1为函数f（x）的对称轴，即有﹣＝1①，讨论a＞0，a＜0，得到f（x）在区间[﹣1，0]的单调性，可得最大值，a﹣b＝3②，解方程组可得a，b的值．作出函数f（x）＝|x2﹣2x|的图象和直线y＝mx，再分类讨论，结合图象即可得到结论．【解答】解：二次函数f（x）＝ax2+bx（a，b∈R），满足f（1﹣x）＝f（1+x），可得直线x＝1为函数f（x）的对称轴，即有﹣＝1①由f（x）在区间[﹣1，0]上的最大值为3，若a＞0时，则f（x）在[﹣1，0]递减，f（﹣1）取得最大值，且为a﹣b＝3②若a＜0时，f（x）在[﹣1，0]递增，f（0）取得最大值，且为0，不成立．由①②解得a＝1，b＝﹣2．则f（x）＝x2﹣2x，若函数g（x）＝|f（x）|﹣mx有唯一零点，即为方程|f（x）|＝mx有唯一实根，作出y＝|f（x）|的图象和直线y＝mx的图象，当m＝0，有y＝0与y＝|f（x）|有两个交点；当m＞0时，由mx＝2x﹣x2，即有x2+（m﹣2）x＝0，由判别式（m﹣2）2﹣4×0＝0，解得m＝2．由图象可得m≥2时，y＝|f（x）|的图象和直线y＝mx的图象有两个交点；当0＜m＜2，y＝|f（x）|的图象和直线y＝mx的图象有，三个交点；当m＜0时，且y＝mx为曲线y＝|f（x）|的切线时，只有一个交点，即为原点为切点，y＝|f（x）|＝x2﹣2x（x＜0），可得mx＝x2﹣2x即x2﹣（2+m）x＝0只有相等的两实根，可得判别式（2+m）2﹣4×0＝0，解得m＝﹣2．由图象可得﹣2≤m＜0时，y＝|f（x）|的图象和直线y＝mx的图象只有一个交点，即为原点．综上可得，所求m的范围为[﹣2，0）．答案：C．【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用函数的对称性和单调性，考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生解析解决问题的能力，属于中档题．二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）17．（3分）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1），则|+2|＝　　．【解析】根据平面向量的线性表示与坐标运算，计算即可．【解答】解：∵向量＝（1，1），＝（1，﹣1），∴+2＝（3，﹣1），∴|+2|＝＝，答案：．【点评】本题考查了平面向量的线性表示与坐标运算问题，以及模长的计算，是基础题．18．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为7，则输出的x的值为 　63　．【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，解析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由程序图可得，输入x＝7，第一次循环，n＝1，1≤3满足循环条件，x＝2×7+1＝15，n＝1+1＝2，第二次循环，n＝2，2≤3满足循环条件，x＝2×15+1＝31，n＝2+1＝3，第三次循环，n＝3，3≤3满足循环条件，x＝2×31+1＝63，n＝3+1＝4，由于4≤3不满足循环条件，输出x＝63，程序结束．答案：63．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．19．（3分）若cos（π﹣x）+cos（+x）＝，则sin2x＝　﹣　．【解析】由已知利用诱导公式可得﹣cosx﹣sinx＝，两边平方即可求得sin2x的值．【解答】解：由cos（π﹣x）+cos（+x）＝，得﹣cosx﹣sinx＝，则，∴1+sin2x＝，得sin2x＝﹣．答案：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．20．（3分）某组统计数据的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 　21　．【解析】把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，求出排在中间的数即可．【解答】解：把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列为：18，19，19，21，23，25，30，排在中间的数是21，所以这组数据的中位数是21，答案：21．【点评】本题考查了利用茎叶图求中位数的应用问题，属于基础题．21．（3分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝A1B1＝A1C1＝4，点E是棱CC1上一点，且，则异面直线A1B与AE所成角的余弦值为 　　．【解析】以点A1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A1﹣xyz，求出两直线的方向向量，利用向量法求异面直线所成的角的余弦值．【解答】解：以点A1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A1﹣xyz，则A1（0，0，0），B（4，0，4），A（0，0，4），E（0，4，），则＝（4，0，4），＝（0，4，﹣），cos＜，＞＝＝﹣，所以异面直线A1B与AE所成角的余弦值为 ，答案：．【点评】本题考查异面直线所成角的问题，属基础题．22．（3分）已知直线x﹣my+1﹣m＝0被圆O：x2+y2＝4所截得的弦长为，则m＝　﹣1　．【解析】弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，半径是2，半弦长是，则弦心距是，用点到直线的距离可以求解m．【解答】解：圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，∵直线l被圆O：x2+y2＝4截得弦长为2，∴圆心到直线的距离d＝＝，∴圆心到直线的距离d＝＝，∴m＝﹣1．答案：﹣1．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．23．（3分）如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝，若，，则BC＝　3　．【解析】由题意在△ADC中应用余弦定理易得cos∠CAD，进而由同角三角函数基本关系可得sin∠CAD和sin∠BAD，再由和差角公式可得sin∠CAB，在△ABC中由正弦定理可得BC．【解答】解：由题意在△ADC中，AD＝1，CD＝2，AC＝，∴由余弦定理可得cos∠CAD＝＝，∴sin∠CAD＝，同理由cos∠BAD＝﹣，可得sin∠BAD＝，∴sin∠CAB＝sin（∠BAD﹣∠CAD）＝sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD＝在△ABC中由正弦定理可得BC＝＝3答案：3．【点评】本题考查三角形中的几何运算，涉及正余弦定理的综合应用，属中档题．三．解答题（共6小题，满分31分）24．（4分）已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12＝0，BC：4x﹣3y+16＝0，CA：2x+y﹣2＝0（1）求直线AB与直线BC的交点B的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线方程．【解析】（1）联立直线的方程，解方程组可得；（2）由垂直关系可得BD的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得．【解答】解：（1）联立直线的方程可得，解方程组可得，∴交点B的坐标为（﹣4，0）；（2）∵BD⊥AC，∴．∴AC边上的高线BD的方程为y﹣0＝（x+4），化为一般式可得x﹣2y+4＝0【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线交点的坐标，属基础题．25．（4分）等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn．【解析】（1）设{an}的公比为q．由a1＝2，a4＝16，解得q＝2，由此能求出数列{an}的通项公式．（Ⅱ）由q＝2，a1＝2，能求出数列{an}的前n项和Sn．【解答】解：（1）设{an}的公比为q．∵a1＝2，a4＝16，∴16＝2q3，解得q＝2，所以数列{an}的通项公式为．（2）由（1）得q＝2，a1＝2，所以数列{an}的前n项和．【点评】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．26．（5分）从某高校随机抽样1000名学生，获得了它们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]．（1）求这1000名学生中该周课外阅读时间在（8，10]范围内的学生人数；（2）估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率【解析】（1）根据频率来估计总体即可求出；（2）用频率来估计概率，即可求出．【解答】解：（1）该周课外阅读时间在（8，10]的频率为：1﹣2×（0.025+0.050+0.075+0.150+0.075+0.025）＝0.200，所以这1000名学生中该周课外阅读时间在（8，10]范围内的学生人数为1000×0.200＝200人；（2）每周课外阅读时间超过6小时的概率为2（0.150+0.100+0.075+0.025）＝0.700，所以估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率0.700．【点评】本题考查频率直方图的求法，考查概率的求法，属于基础题．27．（5分）已知函数．（1）写出f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最小值和最大值．【解析】（1）由正弦函数的周期公式T＝＝2π，可写出f（x）的最小正周期；（2） ，从而可求得f（x）在区间上的最小值和最大值．【解答】解：（1）的最小正周期为T＝2π；（2）因为，所以，所以，当，即x＝0时，f（x）取得最小值；当，即时，f（x）取得最大值．所以f（x）在区间上的最小值为，最大值为．【点评】本题考查三角函数的周期性与最值，考查数学运算能力，属于中档题．28．（6分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD．（1）求证：AC⊥平面PBD；（2）若PD＝2，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解析】（1）由四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，再由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AC，然后利用直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面PBD；（2）由PD⊥平面ABCD，得∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，可得∠PBD＝45°，再由已知求得BD＝2．由AB＝AD＝2，求出菱形ABCD的面积，代入棱锥体积公式求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴PD⊥AC，又PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD；（2）解：∵PD⊥平面ABCD，∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，于是∠PBD＝45°，∵PD＝2，∴BD＝PD＝2，又AB＝AD＝2，∴菱形ABCD的面积为，故四棱锥P﹣ABCD的体积．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．29．（7分）已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x2﹣b2|，其中a，b，x∈R．（Ⅰ）若y＝f（x）是偶函数，求实数a的值；（Ⅱ）当a＝b＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意x∈[0，1]，都有f（x）≤a+b2恒成立，求实数a+b2的最小值．【解析】（Ⅰ）由偶函数的定义，计算可得所求a的值；（Ⅱ）求得f（x）的解析式，作出y＝f（x）的图象，可得单调区间；（Ⅲ）先证a+b2≥1．结合恒成立思想，考虑f（0）、f（1）≤a+b2，结合绝对值不等式的性质，可证；再证，当时，对一切x∈[0，1]时f（x）≤1恒成立，由二次函数的性质和绝对值不等式的性质，可得证明．【解答】解：（Ⅰ）y＝f（x）是偶函数，故f（﹣x）＝f（x），即|﹣x﹣a|+|（﹣x）2﹣b2|＝|x﹣a|+|x2﹣b2| |x+a|＝|x﹣a| a＝0；（Ⅱ）a＝b＝1时，，结合图象易知y＝f（x）的单调递增区间为，[1，+∞），y＝f（x）的单调减区间为：（﹣∞，﹣1]，．（Ⅲ）先证a+b2≥1．∵对任意x∈[0，1]，都有f（x）≤a+b2恒成立，∴f（0）≤a+b2 |a|≤a a≥0，且对任意实数a，b，f（1）＝|1﹣a|+|1﹣b2|≤a+b2恒成立，当b2＞1时，f（1）＝|1﹣a|+|1﹣b2|＝|1﹣a|+b2﹣1≤|a|+1+b2﹣1＝a+b2恒成立．当b2≤1，a＞1时，f（1）＝|1﹣a|+|1﹣b2|＝a﹣1+1﹣b2≤a+b2恒成立，当b2≤1，0≤a≤1时，由f（1）＝|1﹣a|+|1﹣b2|＝1﹣a+1﹣b2≤a+b2恒成立，可得a+b2≥1，当取等号，再证，当时，对一切x∈[0，1]时f（x）≤1恒成立，∵x∈[0，1]，∴0≤x2+x≤2，∴f（x）＝|x﹣|+|x2﹣|，当0≤x≤时，f（x）＝1﹣x﹣x2∈[，1]；当＜x≤时，f（x）＝x﹣x2∈[，）；当＜x≤1时，f（x）＝x2+x﹣1∈（，1]，综上所述，f（x）在[0，1]的最大值为1，则a+b2的最小值为1．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断、以及最小值的求法，考查分类讨论思想和数形结合思想，以及化简运算能力、推理能力，属于难题．第1页（共1页）

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