负二项分布

二阶矩

一、负二项分布概述

负二项分布是一种离散概率分布，可用于描述在多次重复的伯努利试验中，出现

r

次

成功时需要进行

k

次试验的概率分布。在实际应用中，负二项分布常用于预测出现某种结

果所需进行的试验次数，例如在网站推广中，预测需要向多少人发送广告邮件才能获得

n

个用户的注册。

    1

、概率密度函数

负二项分布的概率密度函数如下：

    $$ P(X=k)={k+r-1\choose k}p^rq^k $$

其中，

p

为单次试验中成功的概率，

q

为失败的概率，

r

为成功的次数。计算负二项分

布时，我们需要先确定

r

和

p

的值，并根据所求问题的具体情况计算出

q

的值。

    2

、期望值

负二项分布的期望值（一阶矩）为：

    $$ E(X)=\frac{r}{p} $$

其中，

r

为成功的次数，

p

为单次试验中成功的概率。期望值可以理解为在重复

n

次试

验中出现某个结果的平均次数。例如，如果我们想在

10

次试验中出现

6

次成功，那么期望

值为：

即在重复

10

次试验的结果中，我们可以预期会出现

12

次成功。

    3

、方差

即结果与期望值的偏离程度为

12

。

三、应用场景

负二项分布常用于计算某个结果在多次试验中出现的概率，从而帮助我们制定合理的

决策和计划。一些具体的应用场景如下：

    1

、预测试验次数

在网站推广和电商营销中，我们往往需要预测向多少用户发送广告邮件或短信才能获

得期望的注册或购买量。此时，我们可以利用负二项分布计算所需发送的邮件或短信数

量。