Bernoulli分布用来描述Bernoulli试验的结果，Bernoulli试验指的是只有两种可能的结果的随机试验，比如明天是否下雨、新生儿是男孩还是女孩。用 X X X表示Bernoulli试验的结果， X = 1 X=1 X=1表示试验成功， X = 0 X=0 X=0表示试验失败，记 X ∼ B e r ( p ) X\sim Ber(p) X∼Ber(p)，则 P ( X = 1 ) = p ,    P ( X = 0 ) = 1 − p P(X = 1) = p,\ \ P(X=0)=1-p P(X=1)=p,  P(X=0)=1−p

性质1 E X r = p EX^r=p EXr=p， V a r ( X ) = p ( 1 − p ) Var(X)=p(1-p) Var(X)=p(1−p) 证明 E X r = 0 r × ( 1 − p ) + 1 r × p = p V a r ( X ) = p − p 2 = p ( 1 − p ) EX^r = 0^r \times (1-p) + 1^r \times p = p \\ Var(X) = p - p^2 = p(1-p) EXr=0r×(1−p)+1r×p=pVar(X)=p−p2=p(1−p)

性质2 M X ( t ) = ( 1 − p ) + p e t M_X(t) = (1-p)+pe^t MX​(t)=(1−p)+pet 证明 M X ( t ) = E [ e t X ] = e 0 ( 1 − p ) + e t p = 1 − p + p e t M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{0}(1-p) + e^{t}p = 1-p+pe^t MX​(t)=E[etX]=e0(1−p)+etp=1−p+pet

将Bernoulli试验独立重复的 n n n次，记 X X X为成功的次数，则 X X X服从二项分布，记为 X ∼ B i n o m ( n , p ) X \sim Binom(n,p) X∼Binom(n,p)， P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , ⋯   , n P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,\cdots,n P(X=k)=Cnk​pk(1−p)n−k,k=0,1,⋯,n 二项分布的归一性由二项式定理给出，因此得名二项分布， ∑ k = 0 n C n k p k ( 1 − p ) n − k = ( p + ( 1 − p ) ) n = 1 \sum_{k=0}^n C_n^k p^k(1-p)^{n-k} = (p+(1-p))^n = 1 k=0∑n​Cnk​pk(1−p)n−k=(p+(1−p))n=1 另一种定义二项分布的办法是用Bernoulli分布和，记 Y 1 , ⋯   , Y n Y_1,\cdots,Y_n Y1​,⋯,Yn​表示这 n n n次Bernoulli试验的结果，则 X = Y 1 + Y 2 + ⋯ + Y n ∼ B i n o m ( n , p ) X = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n \sim Binom(n,p) X=Y1​+Y2​+⋯+Yn​∼Binom(n,p)

性质1 E X = n p EX = np EX=np， V a r ( X ) = n p ( 1 − p ) Var(X)=np(1-p) Var(X)=np(1−p) 证明见概率论系列的离散型随机变量那一篇。

性质2 E X r = ∑ j = 1 r S 2 ( r , j ) ( n ) j p j EX^r = \sum_{j=1}^r S_2(r,j)(n)_jp^j EXr=∑j=1r​S2​(r,j)(n)j​pj 证明 假设 f f f是定义在 R \mathbb{R} R上的函数，引入位移算子 L L L与有限差算子 Δ \Delta Δ， L m f ( x ) = f ( x + m ) L^mf(x)=f(x+m) Lm