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概率论与数理统计

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概率论与数理统计

2024-07-17 10:03| 来源: 网络整理| 查看: 265

6.1 点估计问题概述一、点估计的概念

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二、评价估计量的标准无偏性定义1：设^ θ(X1,…,Xn)是未知参数θ的估计量，若E(^ θ)=θ,则称^θ为θ的无偏估计量定理1：设X1,…,Xn,为取自总体X的样本，总体X的均值为μ，方差为σ2,则 (I)样本均值¯X是μ的无偏估计量； (2)样本方差S2是σ2的无偏估计量；在这里插入图片描述

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&1

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有效性无偏性是有效性的前提。定义2：在这里插入图片描述

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例题：

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*1 相合性（一致性）我们不仅希望一个估计量是无偏的，并且具有较小的方差，还希望当样本容量无限增大时，估计量能在某种意义下任意接近未知参数的真值，由此引入相合性（一致性)的评价标准. 在这里插入图片描述

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6.2 点估计的常用方法一、矩估计法

**矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩.**由大数定律知，当总体的k阶矩存在时，样本的k阶矩依概率收敛于总体的k阶矩.例如，可用样本均值X作为总体均值E(X)的估计量.一般地，记

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总体k阶矩=总体k阶原点矩在这里插入图片描述

定义1：用相应的样本矩去估计总体矩的方法称为矩估计法.用矩估计法确定的估计量称为矩估计量.相应的估计值称为矩估计值，矩估计量与矩估计值统称为矩估计.

在这里插入图片描述令¯X=E(X)，则 2.

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在这里插入图片描述令¯X=E(X)，则¯X=3-2θ 则矩估计量^θ=(3-¯X)/2，矩估计值 ^θ= 先求矩估计量，再求矩估计值。

二、最大似然（可能）估计法 1.最大似然估计法的基本思想似然函数在这里插入图片描述

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即求概率

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=fx1(x1)*fx2(x2) *… *fxn(xn) 即求联合密度函数的函数值

似然函数L(θ)的值的大小意味着该样本值出现的可能性的大小，在已得到样本值x1,x2,…,xn的情况下，则应该选择使L(θ)达到最大值的那个θ作为θ的估计^θ.这种求点估计的方法称为最大似然估计法. 求最大似然估计值，再求最大似然估计量

定义2：最大似然估计值，最大似然估计量，最大似然估计在这里插入图片描述

（离散型）例4：设X ~b(1,p),X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本，试求参数p的最大似然估计. 在这里插入图片描述

（连续型）例5：设总体X服从指数分布，其概率密度函数为在这里插入图片描述

置信区间一、置信区间的概念

定义1设θ为总体分布的未知参数，X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本，对给定的数1- a a a(0

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