随机变量 X X X仅取两个值， X = 0 , 1 X=0,1 X=0,1,概率质量函数(PMF)为

P { X = 1 } = p ; P { X = 0 } = 1 − p , p ∈ [ 0 , 1 ] P\{X=1\}=p; P\{X=0\}=1-p,p\in[0,1] P{X=1}=p;P{X=0}=1−p,p∈[0,1]

伯努利累积概率分布(CMF) F ( X ≤ k ) F(X \le k) F(X≤k)：

随机变量服从参数 n , p n,p n,p的二项分布，记作 X ∼ B ( n , p ) X\sim B(n,p) X∼B(n,p),PMF函数为 P { X = k } = ( k n ) p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , ⋯ n P\{X=k\}=\left(\begin{array}{c} k \\ n \end{array}\right) p^k(1-p)^{n-k} ,k=0,1, \cdots n P{X=k}=(kn​)pk(1−p)n−k,k=0,1,⋯n 其中 ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! \left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !} (nk​)=k!(n−k)!n!​是二项式系数。

二项分布CMF:

随机变量 X X X服从参数 λ \lambda λ，PMF为 P ( X = k ) = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , ⋯ P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k !} e^{-\lambda}, k=0,1, \cdots P(X=k)=k!λk​e−λ,k=0,1,⋯

对应的CMF为

连续型随机变量 X X X服从均匀分布记作 X ∼ U ( a , b ) X\sim U(a,b) X∼U(a,b),概率密度函数(PDF)为 f ( x ) = { 1 / ( b − a ) x ∈ [ a , b ] 0 e l s e f(x) = \left\{\begin{array}{l} 1/(b-a)& x\in[a,b] \\ 0&else \end{array}\right. f(x)={1/(b−a)0​x∈[a,b]else​

均匀分布的累积概率分布为 F ( x ) = { 0 , x ≤ a x − a b − a , a ≤ x ≤ b 1 , x > b F(x)=\left\{\begin{array}{l} 0, x\le a \\ \dfrac{x-a}{b-a}, a\leq x \leq b \\ 1, x>b \end{array}\right. F(x)=⎩ ⎨ ⎧​0,x≤ab−ax−a​,a≤x≤b1,x>b​

连续型随机变量 X X X服从均匀分布记作 X ∼ E ( λ ) X\sim E(\lambda) X∼E(λ),概率密度函数(PDF)为 f ( x ) = { λ e − λ x x > 0 0 x ⩽ 0 f(x)=\left\{\begin{array}{l} \lambda e^{-\lambda x} &x>0 \\ 0&x \leqslant 0 \end{array}\right. f(x)={λe−λx0​x>0x⩽0​

指数分布的累积概率分布为 P { X ≤ x } = F ( x ) = 1 − e − λ x , x > 0 P\{X \leq x\}=F(x)=1-e^{-\lambda x}, x>0 P{X≤x}=F(x)=1−e−λx,x>0

连续型随机变量 X X X服从正态分布记作 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2),概率密度函数(PDF)为 f ( x ) = 1 2 π σ exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right) f(x)=2π ​σ1​exp(−2σ2(x−μ)2​)

正态分布累积概率分布不存在初等函数，定义 F ( X ≤ k ) F(X\le k) F(X≤k)的概率为

N N N个相互独立随机变量服从标准正态分布，则 N N N个随机变量的平方和服从 χ 2 \chi^2 χ2分布，记作 X ∼ χ 2 ( n ) X\sim\chi^2(n) X∼χ2(n), n n n为自由度。概率密度函数为 f k ( x ) = ( 1 / 2 ) k / 2 Γ ( k / 2 ) x k / 2 − 1 e − x / 2 , x > 0 f_k(x)=\frac{(1 / 2)^{k / 2}}{\Gamma(k / 2)} x^{k / 2-1} e^{-x / 2},x>0 fk​(x)=Γ(k/2)(1/2)k/2​xk/2−1e−x/2,x>0 Γ \Gamma Γ表示gamma函数。 k k k为自由度。

卡方分布累积概率分布为 F k ( x ) = γ ( k / 2 , x / 2 ) Γ ( k / 2 ) F_k(x)=\frac{\gamma(k / 2, x / 2)}{\Gamma(k / 2)} Fk​(x)=Γ(k/2)γ(k/2,x/2)​ 其中 γ ( a , b ) \gamma(a,b) γ(a,b)表示不完全gamma函数。

随机变量 X X X服从标准正态分布, Y Y Y服从 χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n)，则随机变量 Z = X Y / n Z = \dfrac{X}{\sqrt{Y/n}} Z=Y/n ​X​服从 t t t分布，概率密度函数为 f Z ( x ) = Γ ⁡ ( n + 1 2 ) n π Γ ⁡ ( n 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 1 2 f_Z(x)=\frac{\operatorname{\Gamma}\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n \pi} \operatorname{\Gamma}\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}} fZ​(x)=nπ ​Γ(2n​)Γ(2n+1​)​(1+nx2​)−2n+1​

当 n → ∞ n\to\infty n→∞，T分布与正态分布基本一致。

随机变量 X , Y X,Y X,Y分别服从 χ 2 ( n 1 ) \chi^2(n_1) χ2(n1​)和 χ 2 ( n 2 ) \chi^2(n_2) χ2(n2​)，则随机变量 Z = χ 2 ( n 1 ) / n 1 χ 2 ( n 2 ) / n 2 Z = \dfrac{\chi^2(n_1)/n_1}{\chi^2(n_2)/n_2} Z=χ2(n2​)/n2​χ2(n1​)/n1​​服从自由度为 ( n 1 , n 2 ) (n_1,n_2) (n1​,n2​)的 F F F分布，其pdf为 f ( z ) = Γ ( n 1 + n 2 2 ) ( n 1 n 2 ) n 1 2 z n 1 2 − 1 Γ ( n 1 2 ) Γ ( n 2 2 ) [ 1 + n 1 z n 2 ] n 1 + n 2 2 z > 0 f(z)=\frac{\Gamma\left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^{\frac{n_1}{2}} z^{\frac{n_1}{2}-1}}{\Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)\left[1+\frac{n_1 z}{n_2}\right]^{\frac{n_1+n_2}{2}}} \quad z>0 f(z)=Γ(2n1​​)Γ(2n2​​)[1+n2​n1​z​]2n1​+n2​​Γ(2n1​+n2​​)(n2​n1​​)2n1​​z2n1​​−1​z>0