在概率论和统计学中，二项分布是\(n\)个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为\(p\)。

在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象 。

定理：在适当的条件下，大量相互独立随机变量的均值经适当标准化后依分布收敛于标准正态分布。

一万次抛掷硬币实验中出现正面的平均比率，每次实验的样本数为抛掷 200次硬币。

高尔顿板上的每一个圆点表示钉在板上的钉子，钉子之间的距离彼此相等，呈三角形排列，上一层每一颗钉子的位置恰好位于下一层两颗钉子的正中间。

当小球从最上方的入口落下时，小球每次碰到钉子后向左、右两个方向落下的概率各为50%，直到最后落入底部的一个格子内。把大量小球逐个从入口处放下，只要高尔顿板的面积足够大、钉子数量足够多，落在格子内的小球将形成与正态分布曲线相似的中间高、两边低的钟形曲线。

在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望，亦简称期望，物理学中称为期待值）是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。

\({EV}(期望值)=胜的概率 \times 获胜的筹码 - 输的概率 \times 输掉的筹码\)

二项分布 \(X \sim B(n,p)\)（也就是说，\(X\) 是服从二项分布的随机变量） 那么\(X\)的期望值为: \(E(X) = np\) 意义表示：随机变量\(X\)的平均值，或平均水平。

证明：假设有一个伯努利试验，试验有两个可能的结果：\(1\)和\(0\)，前者发生的概率为\(p\)，后者的概率为\(1−p\)。 该试验的期望值等于\(μ = 1 · p + 0 · (1−p) = p\)。 \(n\) 个伯努利试验就是 \(np\) 。

方差和标准差都是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念，用于评估数据的波动性有多大。

\(D(X) = \sum\limits_{i=1}^n p_i.(x_i - μ)^2\) 其中 \(μ = E(X) \)，即 期望值 ，\(n\)个数值(\(x_1、x_2、 ... 、x_n\))的平均值。 \(p_i\) 对应 \(x_i\) 出现的概率

\(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n p_i.(x_i - μ)^2}\)

证明：假设有一个伯努利试验，试验有两个可能的结果：\(1\)和\(0\)，前者发生的概率为\(p\)，后者的概率为\(1−p\)。

该试验的方差 \(σ^2 = (1 - p)^2 * p + (0 - p)^2*(1−p) = p(1-p)\)。

\(n\) 个伯努利试验就是 \(np(1-p)\) 。

二项式系数，或组合数，在数学里表达为：

对于非负整数\(n\)和\(k\)，二项式系数\(C_n^k\)定义为:

\((1+x)^n\)的多项式展开后，\(x^k\)的系数。

\((1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^n(C_n^k x^k) = C_n^0 + C_n^1x+ C_n^2x^2+ ... + C_n^n x^n\)

其中的 \(C\) 代表组合或选择;

二项式系数对组合数学很重要，因它的意义是从n件物件中，不分先后地选取k（k为正整数）件的方法总数，因此也叫做组合数。

二项式系数可排列成帕斯卡三角形

如果随机变量\(X\)服从二项分布，那么在\(n\)次试验中，恰好得到\(m\)次成功的概率为：

\(P\{X = m\} = C_n^mp^m(1-p)^{n-m}\)

\( 其中： 0