这个多项式定理的推导如下，将式子左边展开

上面的式子是由n个因子相乘得到，而它的展开式可以看做在每个式子里选取某一个xi，总共选取n个xi相乘，所以所有的展开式项都会有

这样的公有项，而且。

这样的话，我们可以把问题看成在n个式子里，先选取r1个x1，然后选取r2个x2，最后选取rk个xk，然后求有多少种方法。类似把n 个球放到k个不同的盒子里的方法有多少种,我们得到 

所以的系数为，这样，我们就能得到展开式的通式。举个例子，当k=2时，我们就得到了常见的二项式公式：

再来看之前的多项分布的概率公式，假设发生的概率为，由于事件之间是相互独立的，可得。

我们将式子的左边看做一次抽样各种事件发生的概率和，那么则是进行了n次抽样所有事件相互组合的对应概率和。把这个多项式展开，它的每一项都对应着一个特殊事件的出现概率。我们把展开式的通项作为X1出现x1次，X2出现x2次，…，Xk出现xk次的这种事件的出现概率，这样就得到了多项分布的概率公式。

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