【高数】微分方程,公式+推导+例题,大学考试必看 |
您所在的位置:网站首页 › 二阶求导例题高数 › 【高数】微分方程,公式+推导+例题,大学考试必看 |
目录 一、一阶微分方程 1.1 可分离变量的微分方程 1.2 齐次方程 1.3 一阶线性微分方程 1.4 伯努利方程 二、二阶微分方程 2.1 二阶齐次线性微分方程 2.2 二阶常系数齐次线性微分方程 2.3 二阶非齐次线性微分方程 2.4 二阶常系数非齐次线性微分方程 三、微分方程例题 第一步:求对应齐次通解 第二步:求对应非齐次特解 第三步:写出原方程通解 (原创文章,转载请注明出处) 博主是计算机专业大学生,不定期更新原创优质文章,感兴趣的小伙伴可以关注博主主页支持一下,您的每一个点赞、收藏和关注都是对博主最大的支持! 一、一阶微分方程 1.1 可分离变量的微分方程(1)一般形式: (2)求解:当可化为:,再同时积分: 1.2 齐次方程(1)一般形式: (2)求解:令:即:有: 代入原方程:即可求解,最后将x,y换回来 1.3 一阶线性微分方程(1)一般形式: (2)一阶齐次线性微分方程 若:,则通解: (3)一阶非齐次线性微分方程 若:,则通解: 1.4 伯努利方程(1)一般形式: (2)求解:等式两边同除得: …… ① 令:,则: 将,代入①可得: 整理得:,此时按一阶线性微分方程求解 求出通解之后,使用换元得出原方程的通解 二、二阶微分方程 2.1 二阶齐次线性微分方程(1)一般形式: (2)通解: (3)说明:其中,为该方程特解,其线性无关 即: 2.2 二阶常系数齐次线性微分方程(1)一般形式:() (2)通解: 第一步,写出特征方程: 第二步,解特征根: 第三步,分情况写通解: ① 当,有不等实根: 通解: ② 当,有相等实根: 通解: ③ 当,有共轭复根: 其中:, 通解: 2.3 二阶非齐次线性微分方程(1)一般形式:(可解得特解:) (2)对于齐次方程:(可解得通解:) (3)非齐次通解=齐次通解+非齐次特解(即:) 2.4 二阶常系数非齐次线性微分方程(1)一般形式: (2)非齐次通解=齐次通解+非齐次特解 (3)非齐次特解(重点): 对于,当 猜想非齐次特解:(注意这里的λ和m后续要用) 对其求导得:,,代入 得: 有以下情况: ① 情况1: 是一个m次多项式,则可设: 求导并带入可解:,写出特解: ② 情况2:; 是一个m次多项式,则可设: 求导并带入可解:,写出特解: ③ 情况3:; 是一个m次多项式,则可设: 求导并带入可解:,写出特解: 举例: 例1:m=1,λ=2;λ满足:, 则通解一般形式可设为: 例2:m=2,λ=0;λ满足: 则通解一般形式可设为: 三、微分方程例题最后给出一道例题,巩固以上知识点 例题:求微分方程 解析如下 第一步:求对应齐次通解对应齐次方程: 特征方程: , 其中:, 所以: 则对应齐次通解: 第二步:求对应非齐次特解属于,令: 由:, 则非齐次特解一般形式: ……① 一阶导数: ……② 二阶导数: ……③ 将①②③代入原方程整理可得: 解得:, 则对应非齐次特解: 第三步:写出原方程通解若有不妥之处,恳请读者批评指正 |
CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |