疑问：operator，mapping，function的区别？函数是映射的一种，映射即算符 疑问：space，field的区别？两个都是集合，在域上建造一个空间 疑问： V × V V\times V V×V， V 2 V^2 V2的区别？没区别 疑问：outer product，Kronecker product，tensor product的区别？ 疑问：变换都是正交的吗？

应力：由力与面积取极限来定义，力与面积的法向量都是向量，应力就是两个向量的映射，因此应力是一个二阶张量 应变：由变形梯度定义， E = ( F T ⋅ F − 1 ) / 2 \bold{E} = (\bold{F}^T\cdot \bold{F} - \bold{1})/2 E=(FT⋅F−1)/2， d x ⃗ F = d X ⃗ d\vec{x} \bold{F}=d\vec{X} dx F=dX ，因此应变是一个二阶张量 弹性模量：由应力与应变两个二阶张量定义，因此是四阶张量

转动惯量：角动量为向量，角速度为向量，则转动惯量为二阶张量

注：张量为两个向量间的映射，但如果两个向量方向一样，映射就是标量。 为什么转动惯量是个张量啊？ - 极地的光的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/472241360/answer/2041012263

赝标量pseudoscalar 其符号在宇称反演下会改变 赝矢量与矢量的点积为赝标量，混合积为赝标量（矢量叉积为赝矢量）。赝标量与矢量相乘为赝矢量。

a ⃗ × b ⃗ \vec{a} \times \vec{b} a ×b 在左手系与右手系中方向不同 赝矢量pseudovector or axial vector：在坐标反演时改变了方向，如：角动量，力矩，扭矩，涡量，磁感应强度magnetic field，角速度。（坐标旋转不改变坐标系的类型，如果只考虑坐标旋转，赝矢量与真矢量无区别） 真矢量true vector or polar vector，如：位移，速度，场强，电流。 赝矢量的旋度为真矢量。

真矢量与真矢量点积为标量，真矢量与赝矢量点积为赝标量。 赝矢量与赝矢量点积？

宇称：左右交换 宇称不变性：左右交换不变，镜像与原物对称 对于一元函数，具有奇宇称的就是奇函数，具有偶宇称的就是偶函数

improper rotation，rotation-reflection proper rotation

https://wanweibaike.net/wiki-变换矩阵 矩阵变换：平移、缩放、剪切、旋转、反射、投影、仿射、透视 https://wanweibaike.net/wiki-几何变换 几何变换：等距同构、相似、仿射、投影、反演、共形(保角)、保积、同胚、微分同胚

函数：将集合中的元素映射到数字集合上的映射 当线性映射的目标是一维空间时，映射称为线性函数 张量：一种多重线性映射

1-线性函数： V → R V \rightarrow R V→R， f ( v ⃗ ) = m ⃗ ⋅ v ⃗ f(\vec{v}) = \vec{m} \cdot \vec{v} f(v )=m ⋅v 2-线性函数： V × V → R V\times V \rightarrow R V×V→R， f ( v ⃗ , u ⃗ ) = C v T M C u f(\vec{v}, \vec{u}) = C_v^TMC_u f(v ,u )=CvT​MCu​ 或 f ( v ⃗ , u ⃗ ) = N C v C u f(\vec{v}, \vec{u}) = NC_vC_u f(v ,u )=NCv​Cu​（M为矩阵，N为行矩阵的行矩阵，C为列向量），因此可以看作两个向量映射到一个数字，也可以看成一个向量映射到1-线性函数，也可以看成一个向量映射到另一个向量 k阶张量把m个向量映射到k-m个向量

实数称为零阶张量，1-线性函数称为一阶张量，2-线性函数称为二阶张量

狄拉克表示：向量 ∣ n ^ ⟩ |\hat{n}\rangle ∣n^⟩，其对偶向量 ⟨ n ^ ∣ \langle\hat{n}| ⟨n^∣，投影算子 ∣ n ^ ⟩ ⟨ n ^ ∣ |\hat{n}\rangle \langle\hat{n}| ∣n^⟩⟨n^∣。将 ∣ x ⟩ |x\rangle ∣x⟩投影到 ∣ n ^ ⟩ |\hat{n}\rangle ∣n^⟩方向上，结果是 ∣ n ^ ⟩ ⟨ n ^ ∣ x ⟩ |\hat{n}\rangle \langle\hat{n}|x\rangle ∣n^⟩⟨n^∣x⟩。

赝指标或者哑指标（dummy index），因为它们不是真正的指标，而是可以用任意字母代替的．没有求和的指标是固定的，是真正的指标。

向量的坐标分量用上标表示，对偶向量的坐标分量用下标表示 向量坐标表示为列矩阵，对偶向量坐标表示为行矩 逆变向量分量用上标表示，协变向量分量用下标表示

a j i a_j^i aji​：第i行第j列的元素。 a j i a_j^i aji​也可以表示二维矩阵。 a i j a^{ij} aij表示行矩阵的行矩阵 a i j a_{ij} aij​表示列矩阵的列矩阵

协变就是指坐标的变换矩阵和基底变换的过渡矩阵相同，而逆变就是指坐标的变换矩阵和过渡矩阵互逆．

向量和对偶向量都可以看成一阶张量，前者把一个对偶向量映射为一个标量，后者把一个向量映射为一个标量．

矢量空间，向量空间，线性空间：标量域 F F F上的矢量空间 V V V定义了矢量的集合 X X X，矢量间的加法运算 X × X → X X \times X \rightarrow X X×X→X，标量与矢量间的数乘运算 F × X → X F \times X \rightarrow X F×X→X 加法运算与数乘运算是二元映射，是封闭的运算

物理学界称矢量，数学界称向量 几何矢量是实数域上的赋范线性空间中的元素 几何矢量、多项式、函数都可构成矢量空间

线性空间可以由一组向量张成，这组向量称为基底或基。基中向量的个数为空间维度。

函数：任意集合到一个数字集合的映射 线性空间映射回标量域 f : V → K f: V \rightarrow K f:V→K，如果 f f f满足线性性，称 f f f是线性空间 V V V上的一个线性函数 线性性质的好处就在于，线性函数的性质只依赖于基向量的函数值 V V V上的全体线性函数也可以构成一个向量空间，称为对偶空间

对偶空间是行向量与列向量的关系的抽象化 对偶空间的应用是泛函分析理论的特征。傅立叶变换亦内蕴对偶空间的概念。 域 K K K上的向量空间 V V V的对偶空间 V ∗ V^* V∗： V V V到 K K K的所有线性函数的集合 f ∈ V ∗ : V → K f \in V^{*}: V \rightarrow K f∈V∗:V→K v ∈ V : V ∗ → K v \in V: V^{*} \rightarrow K v∈V:V∗→K V V V的基为 e i e_i ei​， V ∗ V^* V∗的基为 f j f_j fj​，则 e i f j = g i j e_i f_j = g_{ij} ei​fj​=gij​ dual space对偶空间 double dual space双对偶空间

在张量的语言中， V V V的元素被称为反变或逆变向量，而 V ∗ V^* V∗的元素被称为共变或协变向量、“余向量”或“同向量”co-vectors，“线性型”或“一形”one-form

一个实数或复数向量空间加上长度概念（就是范数）则成为赋范向量空间。 一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念则成为内积空间。 一个向量空间加上拓扑结构并满足连续性要求（加法及标量乘法是连续映射）则成为拓扑向量空间。 一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）则成为域代数。

定义了内积运算的向量空间称为内积空间，完备的内积空间叫希尔伯特空间。 线性变换是可逆的，那么线性变换称为同构 完备空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内

W W W是 V V V的子空间， V / M V/M V/M为 V V V关于 m o d W modW modW的商空间

域 K K K上的向量空间 V V V的两个子空间 V 1 , V 2 V_1, V_2 V1​,V2​，满足： V 1 ∩ V 2 = 0 V_1 \cap V_2 = {0} V1​∩V2​=0， v = c 1 v 1 + c 2 v 2 , v 1 ∈ V 1 , v 2 ∈ V 2 , c 1 , c 2 ∈ K v = c_1 v_1 + c_2 v_2, v1 \in V_1, v_2 \in V_2, c_1, c_2 \in K v=c1​v1​+c2​v2​,v1∈V1​,v2​∈V2​,c1​,c2​∈K，则 V V V是 V 1 , V 2 V_1, V_2 V1​,V2​的直和空间， V 1 V_1 V1​是 V 2 V_2 V2​在 V V V中的补空间， V 2 V_2 V2​是 V 1 V_1 V1​在 V V V中的补空间，两个子空间是互补的， V = V 1 ⊕ V 2 V=V_1 \oplus V_2 V=V1​⊕V2​ 同理向量空间也可表示为多个子空间的直和： V = V 1 ⊕ ⋯ ⊕ V n V = V_1 \oplus \cdots \oplus V_n V=V1​⊕⋯⊕Vn​

内积空间 V V V的子空间 V 1 , V 2 V_1, V_2 V1​,V2​满足： ⟨ v 1 , v 2 ⟩ = 0 \langle v_1, v_2 \rangle = 0 ⟨v1​,v2​⟩=0，则两个子空间正交。

线性映射 f : V → W f: V \rightarrow W f:V→W， V V V的零空间 V 0 V_0 V0​， V 0 V_0 V0​在 V V V中的补空间 V 1 V_1 V1​，则 V 0 V_0 V0​中矢量被映射到 W W W的零矢量

一元运算： A → B A \rightarrow B A→B 二元运算： A × B → C A \times B \rightarrow C A×B→C。 A × A → C A \times A \rightarrow C A×A→C可简写为 A 2 → C A^2 \rightarrow C A2→C 如果既是单射又是满射便称为双射

过渡矩阵 基的变换 [ e 1 ⋯ e n ] A = [ e 1 ′ ⋯ e n ′ ] \begin{bmatrix} e_1 \cdots e_n \end{bmatrix} A = \begin{bmatrix} e_1' \cdots e_n' \end{bmatrix} [e1​⋯en​​]A=[e1′​⋯en′​​] 不同基下坐标的变换 A [ c 1 ′ ⋮ c n ′ ] = [ c 1 ⋮ c n ] A \begin{bmatrix} c_1' \\ \vdots \\ c_n' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} A⎣⎢⎡​c1′​⋮cn′​​⎦⎥⎤​=⎣⎢⎡​c1​⋮cn​​⎦⎥⎤​ 不同基下线性变换的变换：在基 e i e_i ei​下线性变换 T T T的矩阵是 M M M，在基 e i e_i ei​下线性变换 T T T的矩阵是 A − 1 M A A^{-1}MA A−1MA

Rodrigues旋转公式：点 r ⃗ = ( x , y , z ) T \vec{r}=(x,y,z)^T r =(x,y,z)T绕任意轴向量 A ^ = ( A x , A y , A z ) T \hat{A}=(A_x,A_y,A_z)^T A^=(Ax​,Ay​,Az​)T按右手定则旋转 θ \theta θ得到点 r ⃗ ′ = ( x ′ , y ′ , z ′ ) T \vec{r}'=(x',y',z')^T r ′=(x′,y′,z′)T r ⃗ ′ = r ⃗ c o s + A ^ × r ⃗ s i n θ + A ^ ( A ^ ⋅ r ⃗ ) ( 1 − c o s θ ) \vec{r}' = \vec{r} cos + \hat{A}\times \vec{r} sin\theta + \hat{A}(\hat{A}\cdot \vec{r})(1-cos\theta) r ′=r cos+A^×r sinθ+A^(A^⋅r )(1−cosθ) 写作矩阵形式： r ⃗ ′ = R r ⃗ \vec{r}' = R \vec{r} r ′=Rr 求导 R ˙ = Ω R \dot{R} = \Omega R R˙=ΩR

四元数 A = a 0 + a = ( a 0 , a ) = a 0 + a 1 i ^ + a 2 j ^ + a 3 k ^ \bold{A} = a_0 + \bold{a} = (a_0, \bold{a}) = a_0 + a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k} A=a0​+a=(a0​,a)=a0​+a1​i^+a2​j^​+a3​k^ 指数表示 e A = e a 0 [ c o s a + s i n ( a a ^ ) ] e^{\bold{A}} = e^{a_0}[cos a + sin(a\hat{a})] eA=ea0​[cosa+sin(aa^)] 向量 v \bold{v} v表示为四元数 ( 0 , v ) (0,\bold{v}) (0,v) Rodrigues旋转公式 ( 0 , r ⃗ ′ ) = q ( 0 , r ⃗ ) q − 1 , q = ( c o s θ 2 , n ^ s i n θ 2 ) , q − 1 = ( c o s θ 2 , − n ^ s i n θ 2 ) (0, \vec{r}') = q(0,\vec{r})q^{-1}, q=(cos\frac{\theta}{2}, \hat{n}sin\frac{\theta}{2}), q^{-1}=(cos\frac{\theta}{2}, -\hat{n}sin\frac{\theta}{2}) (0,r ′)=q(0,r )q−1,q=(cos2θ​,n^sin2θ​),q−1=(cos2θ​,−n^sin2θ​)

傅里叶级数能展开任意满足狄利克雷条件的函数，这个性质叫做完备性。

将满足狄利克雷条件的函数比作几何矢量 将 1 / 2 , s i n ( π x / l ) , c o s ( π x / l ) , . . . , s i n ( π x / l ) , c o s ( π x / l ) 1/2, sin(\pi x/l), cos(\pi x/l), ..., sin(\pi x/l), cos(\pi x/l) 1/2,sin(πx/l),cos(πx/l),...,sin(πx/l),cos(πx/l)比作基 任何满足狄利克雷条件的函数都是这个基的线性组合

函数分别与各个基底内积，再除以基底的模长平方（模方） 即可获得线性组合的系数

离散的函数基底 基底 ∣ x i ⟩ |x_i\rangle ∣xi​⟩ 正交归一基底满足 ⟨ x i ∣ x j ⟩ = δ i j \langle x_i |x_j\rangle = \delta_{ij} ⟨xi​∣xj​⟩=δij​ 函数用完备的基底表示 ∣ f ⟩ = c j ∣ x j ⟩ |f\rangle = c_j|x_j\rangle ∣f⟩=cj​∣xj​⟩ 求解系数 c j = ⟨ x j ∣ f ⟩ c_j = \langle x_j | f \rangle cj​=⟨xj​∣f⟩

连续的函数基底 ∣ k ⟩ = 1 2 π e i k x |k\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx} ∣k⟩=2π ​1​eikx ⟨ k ′ ∣ k ⟩ = δ ( k ′ − k ) \langle k' | k \rangle = \delta(k'-k) ⟨k′∣k⟩=δ(k′−k) δ ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e i k x d x \delta(k) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ikx} dx δ(k)=2π1​∫−∞+∞​eikxdx

f ( w ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i w t d t f(w) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-iwt} dt f(w)=∫−∞+∞​f(t)e−iwtdt f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) δ ( t − τ ) d τ = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ f ( w ) e i w t d w f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) d\tau =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(w) e^{iwt} dw f(t)=∫−∞+∞​f(τ)δ(t−τ)dτ=2π1​∫−∞+∞​f(w)eiwtdw f ( t ) f(t) f(t)在时域的基底为 δ ( t − τ ) \delta(t-\tau) δ(t−τ)，系数为 f ( τ ) f(\tau) f(τ) f ( t ) f(t) f(t)在时域的基底为 e i w t 2 π \frac{e^{iwt}}{2\pi} 2πeiwt​，系数为 f ( w ) f(w) f(w) f ( t ) f(t) f(t)是不变的，但在不同基底下会有不同系数