我们经常需要定位极值点，并判别是极大值还是极小值。定位极值点是一阶导数的职责，一阶导数为0即为极值点；是极大值还是极小值这就是二阶导数的职责了，二阶导数的符号表示曲线的弯曲方向。

这里用距离、速度（距离的导数）和加速度（速度的导数）来举例。 距离： y = x 2 y=x^2 y=x2 速度： d ⁡ y d ⁡ x = 2 x \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=2x dxdy​=2x 加速度： d ⁡ 2 y d ⁡ x 2 = 2 \frac{\operatorname d^2y}{\operatorname dx^2}=2 dx2d2y​=2 后面会讲到，这里的二阶导数永远大于0，图像为凸。

按照国外教材定义，如果该处的二阶导数大于0，则这里的曲线向上弯曲（bending up），图像为凸（convex）；反之，二阶导数小于0，则这里的曲线向下弯曲（bending down），图像为凹（concave）。 函数一： y = sin ⁡ x y=\sin x y=sinx 函数二： d ⁡ y d ⁡ x = cos ⁡ x \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=\cos x dxdy​=cosx 函数三： d ⁡ 2 y d ⁡ x 2 = − sin ⁡ x \frac{\operatorname d^2y}{\operatorname dx^2}=-\sin x dx2d2y​=−sinx 观察下图中 x = π / 2 x=\pi/2 x=π/2 （画圆点的部分）的位置， y ′ = 0 y'=0 y′=0 ， y y y 是极值位置， y ′ ′ < 0 y'' 0 图 像 图 凸 y''(0)=-20图像图凸 y′′(0)=−20图像图凸 令二阶导数等于0： y ′ ′ = 6 x − 2 = 0 x = 1 3 y''=6x-2=0 \\ x=\frac{1}{3} y′′=6x−2=0x=31​ 得到拐点为 x = 1 / 3 x=1/3 x=1/3 ，至此就可以画出 y y y 的大致图像，与下图相符。 PS：这里求拐点和图像的弯曲性直接求二阶导数大于0不是更简单，可能代入求值讲解更加直观。

例子：教授从家到MIT上课需要先开普通公路（30 mile/h）再开高速公路（60 mile/h），假设普通公路到高速公路是连续的，求何时上高速最快。 解： T I M E = b − x 60 + a 2 + x 2 30 T I M E ′ = − 1 60 + 1 2 ⋅ 1 30 a 2 + x 2 ⋅ 2 x ( 这 里 求 导 需 要 后 面 的 知 识 ： 链 式 法 则 ) TIME=\frac{b-x}{60}+\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{30} \\[2ex] TIME'=-\frac{1}{60}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{30\sqrt{a^2+x^2}}\cdot2x\quad(这里求导需要后面的知识：链式法则) TIME=60b−x​+30a2+x2 ​​TIME′=−601​+21​⋅30a2+x2 ​1​⋅2x(这里求导需要后面的知识：链式法则) 令 T I M E ′ = 0 TIME'=0 TIME′=0，得到： T I M E ′ = − 1 60 + 1 2 ⋅ 1 30 a 2 + x 2 ⋅ 2 x = 0 TIME'=-\frac{1}{60}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{30\sqrt{a^2+x^2}}\cdot2x\quad=0 \\ TIME′=−601​+21​⋅30a2+x2 ​1​⋅2x=0 a 2 + x 2 = 2 x a 2 + x 2 = 4 x 2 x = a 3 \begin{aligned} \sqrt{a^2+x^2}&=2x \\ a^2+x^2&=4x^2 \\ x&=\frac{a}{\sqrt{3}} \end{aligned} a2+x2 ​a2+x2x​=2x=4x2=3 ​a​​ 求二阶导：(链式法则和乘法法则) T I M E ′ ′ = 1 ⋅ 1 30 ( a 2 + x 2 ) − 1 2 + x ⋅ 1 30 ⋅ ( − 1 2 ) ( a 2 + x 2 ) − 2 2 ⋅ 2 x = 1 30 a 2 + x 2 − x 2 30 ( a 2 + x 2 ) 3 2 \begin{aligned} TIME''&=1\cdot\frac{1}{30}(a^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}+x\cdot\frac{1}{30}\cdot(-\frac{1}{2})(a^2+x^2)^{-\frac{2}{2}}\cdot2x \\[2ex] &=\frac{1}{30\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{x^2}{30(a^2+x^2)^\frac{3}{2}} \\ \end{aligned} TIME′′​=1⋅301​(a2+x2)−21​+x⋅301​⋅(−21​)(a2+x2)−22​⋅2x=30a2+x2 ​1​−30(a2+x2)23​x2​​ T I M E ′ ′ ( a 3 ) = 1 30 ⋅ 2 a 3 − a 2 3 30 ( 2 a 3 ) 3 = 1 20 3 a − 1 30 ⋅ 8 a 3 3 3 ⋅ 3 a 2 = 1 20 3 a − 1 80 3 a = 3 80 3 a > 0 \begin{aligned} TIME''(\frac{a}{\sqrt{3}})&=\frac{1}{30\cdot\frac{2a}{\sqrt{3}}}-\frac{\frac{a^2}{3}}{30(\frac{2a}{\sqrt{3}})^3} \\ &=\frac{1}{20\sqrt{3}a}-\frac{1}{30\cdot\frac{8a^3}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{3}{a^2}} \\ &=\frac{1}{20\sqrt{3}a}-\frac{1}{80\sqrt{3}a} \\ &=\frac{3}{80\sqrt{3}a}>0 \end{aligned} TIME′′(3 ​a​)​=30⋅3 ​2a​1​−30(3 ​2a​)33a2​​=203 ​a1​−30⋅33 ​8a3​⋅a23​1​=203 ​a1​−803 ​a1​=803 ​a3​>0​ 此时图像为凸， x = a / 3 x=a/\sqrt{3} x=a/3 ​ ，为极小值，又只有一个极值点，所以该点为最小值点。