如何求解空间导数阶数大于 2 的偏微分方程？例如方程

函数为

。

您可以引入 u 的二阶导数的名称，如

.

此时方程可以写为

.

现在，您可以使用 COMSOL Multiphysics 对变量 u、P 和 Q 求解以下等效偏微分方程组：

该方程组也可以通过以下方程写成变量 u、P 和 Q 的一般形式偏微分方程：

Px, Py + Qyf

ux,0 P

0,uy Q

对于边界条件，请考虑以下示例：

在边界上给出 u、uxx 和 uyy。这可以通过对 u、P 和 Q 使用狄利克雷条件来实现。

在边界上给出 u 及其法向导数 du/dn。这意味着还可以计算 u 在切线方向的导数。因此，在边界上已知 ux 和 uy 的表达式。这些边界条件可以通过对 u 使用狄利克雷条件以及对 P 和 Q 使用诺伊曼条件来实现：

u, , ,

其中

-nx

且

-ny.

这里提供的示例模型基于 f = 1 和以下边界条件求解此方程组： 边界 1 和 2：u = 0, uxx = uyy = 0 边界 3：u = x, uxx = 0, uyy = -x 边界 4：u = sin(y), ux = sin(y), uy = cos(y)

通过引入 u 的特定导数的名称，我们可以用类似的方式来处理其他高于二阶的方程。使用尽可能高阶的拉格朗日单元，可以使 u 的高阶导数尽可能平滑。