系统分析有两种方法，一种是输入输出描述法，一种是状态变量描述法。其中输入输出描述法在单输入单输出的通信系统中应用广泛。这一节我们重点谈谈输入输出描述法中各种响应的求解。

       一个系统结构如图1所示：

      输入输出描述法中重点关注输入输出之间的关系，系统的输入端输入需要传输或者处理的信号，输入信号经过整个系统传输后，从输出端离开系统，在输出端得到的这个信号信号就称为输出信号。

     从系统的角度去描述这个输入输出关系，可以看成是系统受到输入信号的激励，产生了相应的输出响应。也就是说，在信号与系统分析中，激励就是指系统的输入信号，响应则是这个输入信号进入系统之后，系统产生的输出。

      连续域线性时不变系统的数学模型是常系数微分方程。用数学模型描述线性时不变系统时常用x(t)或者e(t)表示输入激励，y(t)或者r(t)表示输出响应，这些抽象函数往往还对应着具体的函数形式。解常系数微分方程求输出y(t)的函数形式或者某个时刻的值就是我们常说的系统分析结果。

      考试的综合题经常会涉及求解各种响应，但是每次所求似乎都相差甚远，响应之前的所用定语极多，比如冲激响应、阶跃响应、零输入响应、自由响应、暂态响应、全响应、频率响应特性等等；知识点的跨度也比较大，微分方程、电路经常与拉普拉斯变换、频谱分析(傅里叶变换)综合考查；而名称又似是而非，常常会让同学们感到迷惑。

      常见的系统的响应分为以下三大类：

      第一类是对特定输入信号产生的响应的命名。比如冲激响应，是指系统输入信号为单位冲激信号时产生的输出响应；阶跃响应是当系统输入为单位阶跃函数时系统输出的响应；通常如果题目是求解冲激响应或者阶跃响应，则隐含了输入信号是冲激函数或者阶跃函数这个已知条件；

      第二类是对系统输出类型的一种分解，这个分解情况多样，总的来说就是把系统的输入分解成不同分量，不同的分量产生不同的输出响应，根据这个关系对响应命名。无论如何分类，输出的总和是不变的，这是这类响应的主要特点：即系统输出的总和称为全响应。全响应可以分解成零输入响应和零状态响应之和，也可以分解成自由响应和强迫响应之和，还可以分成暂态响应和稳态响应之和。

      第三类是指系统输出函数 y(t)的傅里叶变换Y(w)，称为系统的频率响应，即它关注的是输出信号以频率为自变量的函数特性，重点分析输出信号的频率与幅度、频率与相位之间的关系，如幅频响应特性和相频响应特性。

     这次课我们重点讲一讲第二类，即系统响应的各种分解及它们的区别和联系。

     图2是今天要讲的第1个例题。

    LTI系统即线性时不变系统，本题给出了一个的常系数微分方程，微分方程右边的e(t)表示的是系统的输入，左边的r(t)也就是所谓的响应，d ^2r(t)/dt^2 、dr(t)/dt、de(t)/dt分别表示输入、输出的微分，也可以用r''(t)、r'(t)、e'(t)这种导数的形式来表示。式中最高的微分阶数为2阶，称为二阶微分方程。

      r(0_),r'(0_)是系统的初始条件。对于一个因果系统，在0_时刻，即0时刻之前的一瞬间，系统的输入还没有接进来，系统是对电路内部电容、电感等储能元件放电产生的响应，这部分响应称为零输入响应，即零输入响应是由系统初始状态产生的；相对应的，如果不考虑系统的初始状态，单纯由输入激励e(t)产生的响应称为零状态响应。零输入响应和零状态响应正好是题中所求的两个响应分量。根据线性系统的叠加特性，系统在输入激励和初始值的共同激励下产生的两部分响应叠加起来，就可以得到系统的全响应。

     求解系统的零输入响应、零状态响应和全响应是拉普拉斯解微分方程最重要的功能，因此，我们采用复频域法来解微分方程，注意，拉普拉斯解微分方程是一次性求出全响应的。具体步骤如下：

     1)先对微分方程两边进行拉普拉斯变换，因为是给出了初始状态和输入激励的具体函数(是一个阶跃信号)，在应用拉普拉斯变换微分特性时注意，输出信号需要代入含有初始条件的公式；而输入信号，因为是在0时刻之后才输入的，不需要代入初始条件(相当于隐含了e(0_)=0,e'(0_)=0这个条件，这一点至关重要)。

    微分方程两边拉普拉斯变换得到下式：

    因为已知输入e(t)=u(t)，所以e(t) 的拉普拉斯变换E(s)=1/s, 将另外两个初始条件r(0_)=2,r'(0_)=0代入上式，代换的过程如图3所示：

整理代入全部已知条件并整理，将R(s)相关项留在右边，其他的都移到左边。

    上式是整理的一个中间过程，等号左边的第3项化简后是常数，习惯上我们会将它与第2项直接相加，简化式子，方便最后用拉普拉斯反变换求出全响应。由于本题除了全响应，还要求零输入响应和零状态响应。根据这两个响应的定义，右边的第1、2项，是初始条件部分决定的(从左边移项到右边)，这一部分对应的是零输入响应；而第3、4项，则是由输入激励拉普拉斯变换得到的，所以这部分对应的是零状态响应。为了便于后面的分解，这一步，我们不化简这两个常数项，直接将式子整理如下并进行计算，计算过程如图下：

     如果在时域求解微分方程的零输入响应，需要利用已知的初始状态来求解齐次解的待定系数；求零状态响应的过程更麻烦，需要写出齐次解和特解的形式，代入原方程用冲激函数匹配法求待定系数，当起始值有跳变时，还需要计算0+的值，否则不能正确求出。而在复频域求解，可以直接按0_的条件进行计算，利用拉普拉斯变换的时域微分特性将方程转换为关于s的多项式，化简多项式后再进行拉普拉斯反变换，就可以得到的系统的全响应；还可以通过这样不完全化简的方法，在中间过程中，对初始状态和输入激励产生的多项式不做合并化简，虽然解题的时候步骤多了一点点，但是可以直接把全响应、零输入和零状态这三个响应分别直接求出来，还是很有效的(比时域法真的容易理解多了)。

     另外题目还要求指出全响应中的自由响应和强迫响应。这两个响应与微分方程的時域解有关。在动态电路的完全响应中，由初始条件确定了待定系数的微分方程的通解部分，称为电路系统的自由响应，它的函数形式仅由电路本身结构决定的，它大小由外加激励与电路共同决定。也就是说，自由响应也包含两个部分，一部分由初始状态引起，另一部分由激励信号产生；微分方程特解称为系统的强迫响应，特解的形式由输入激励形式决定，大小可以在选定特解形式后，代入方程可以求得特解函数式中待定系数，即可给出特解。

以下是求特解的一个例子：

     从求特解的过程中大家也可以感受到，时域求解需要先预设出特解的有待定系数的基本形式，再代入到微分方程中去计算，通过方程左右两边平衡(相等)来处理系数关系，是比较麻烦的。

     根据线性系统的特性，自由响应与强迫响应之和也是等于全响应的。尽管这两个响应是根据微分方程的时域解来分解的，我们是不是一定要再解一次微分方程呢？回答是否定的。在前面已经用拉普拉斯变换求解出系统全响应的情况下，我们只要判断出一个响应，那么剩下的就是另一个。因为通解(齐次解)的待定系数求解比较麻烦，而特解只与激励的形式有关，所以我们判断特解形式之后，可以在全响应中找出结构相同的一项，对应的就是强迫响应，剩下的自然就是自由响应 了；如果特解与系统固有响应类型相同，只判断特解形式就没有办法将强迫响应和自由响应分离出来，只能用上述方法求特解(强迫响应)

      下表是常见几种典型激励函数响应的特解

     如果能记下来激励与特解对应关系也可以直接写出特解的形式(例题中给出的是这个表各对应值计算的具体方法)。

    最后，关于全响应的分解问题，还可以分解成暂态响应和稳态响应，在电路分析基础中研究得是比较多的。根据定义，动态电路的全响应中，当t趋于∞时，趋于零的部分，称为暂态响应；除去暂态响应剩下的部分称为稳态响应。

      对于例题1，利用已经求解出来的全响应，根据各种响应的定义，可以将全响应分解成强迫响应加自由响应，也可以分解成暂态响应和稳态响应。分解详情如下图所示：

        系统响应求解的方法，其实最灵活多样的，从时域还是从复频域入手决定了是否能够直达题目所求。综合题中常考的类型还有很多，一般都会结合系统分析等具体应用场景出题，增加理解题目和选择解题方法的难度。下一讲我打算汇总一些求解系统响应的考研题，重点分析总结一下如何确定有效的解题方法，迅速解决相关问题。

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                                 B站                     讲信号与系统的潘老师

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