本节内容一般都应该先画图再思考后续内容较为直观

基本口诀是：后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限（且下限必须小于上限）

结合下图进行解释，后积先定限，对于X-型来说（看底下(1)那个式子）最后面是 d y dy dy是先积分的，这个积分完才是对 x x x积分的，因此 x x x属于后积，那先确定它的上下限，即x轴方向上的始末。接着沿垂直于 x x x轴的方向画线，形成 d y dy dy的上下限

仍以X-型为例，此时先对 y y y积分，故 x x x看成常数，随机积分得到一个仅含x的式子（因为根据NL公式求积分后 y y y都被上下限带入值了，上下限是只关于x的函数），这样再继续进行下一次积分就能出最后结果了。

关键是把 d σ d\sigma dσ这个二维的微元转换成一维的形式，这不意味着一定是 d x d y dxdy dxdy，在极坐标系下也可以进行类似的处理，即 d σ = d θ r d r d\sigma = d\theta r d r dσ=dθrdr，并且极坐标系下一般都是先对 r r r再对 θ \theta θ进行积分的

∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ D f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) r d r d θ = ∫ α β d θ ∫ r ( θ 1 ) r ( θ 2 ) f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) r d r \iint_D f(x,y)dxdy=\iint_Df(r\cos \theta,r \sin \theta)rdrd\theta=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r(\theta_1)}^{r(\theta_2)}f(r\cos \theta,r \sin \theta)rdr ∬D​f(x,y)dxdy=∬D​f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=∫αβ​dθ∫r(θ1​)r(θ2​)​f(rcosθ,rsinθ)rdr

细说的内容可以看@高数叔的文章：知乎 - 《高等数学》二重积分计算（极坐标）

关于轮换对称性，只看积分区域 D D D是否关于 y = x y=x y=x对称即可（即 x x x和 y y y对调之后区域 D D D不变）

由上图，若在紫色线 x − y = − 2 x-y=-2 x−y=−2和黄色线 x − y = 2 x-y=2 x−y=2之间平移一条和他们斜率相等的线，则必有 − 2 < x − y < 2 -2