从二重积分开始，积分学就开始在一元定积分的基础上进行一定的推广，研究对象从一元函数变成二元函数，积分区间由一元区间变成二元区域.

同济版的高数是从几何意义去引入二重积分. 这和一元定积分是类似的思想. 这个角度也比较容易理解. 具体如下: 一个立体， z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 定义为它的顶， 区域 D D D 定义为底，侧面以 D D D 的边界曲线为准线而母线平行于 z z z轴的柱面. 这样的立体想求的它的体积等价于求 D D D 上的二重积分.

相关二重积分的理论在数学分析是涉及了。尤其是分割的思想自然必不可少. 下面两条是可积性定理。 1 有界闭区域 D D D 上的连续函数必可积。 2 设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 是定义在有界的闭区域 D D D上的有界函数， 若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 的不连续点落在有限的光滑曲线上，则 f ( x , y f(x,y f(x,y在 D D D上可积. 第2个虽然遇到的情况比较少，但是心里要有数.

同样我们比较关心二重积分的计算方法. 一般而言分为直角坐标下的和极坐标下的两种计算模式. 直角坐标下的计算一般去考虑化成累次极限去求，这一块数学分析有严格的定义方法证明。 相关公式和推导可以参考相关教材.还有一个方法采用物理的微元法去推导。 积分次序的分析是重要的. 先积 x x x 依据 区域是 y y y型区域。对应先积 y y y 依据 区域是 x x x型区域。

这一块举了一个对初学者稍微复杂计算例子计算: ∬ D x 2 + y 2 d σ ,   其中 D = { x 2 + y 2 ≤ 1 } \iint_D x^2+y^2d\sigma ,\, \text{其中} D=\{x^2+y^2 \leq1\} ∬D​x2+y2dσ,其中D={x2+y2≤1} 它的积分区域是个圆，既是 x x x 区域也是 y y y型区域， 我们可以按照 x x x区域去做。其中考虑对称性。 那么就得到;

4 ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 − 1 x 2 + y 2 d y d x 4\int_0^1\int_0^{\sqrt{x^2-1}}x^2+y^2dydx 4∫01​∫0x2−1 ​​x2+y2dydx

此时先积 y y y里面得到 1 3 ( 1 − x 2 ) 3 / 2 + x 2 1 − x 2 \frac {1} {3}\left (1 - x^2 \right)^{3/2} + x^2\sqrt {1 - x^2} 31​(1−x2)3/2+x21−x2 ​, 这里卖个关子，读者可以试试进一步怎么求?

(参考：此时采用定积分的换元法，令 x = cos ⁡ ( t ) x=\cos(t) x=cos(t) 可以进一步处理. )

第二种方法是积分变换法：转极坐标. 令 x = r cos ⁡ ( θ ) , y = r sin ⁡ ( θ ) x=r\cos(\theta), y=r\sin(\theta) x=rcos(θ),y=rsin(θ) 积分变换成： ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ \int_0^{2\pi}\int_0^{1}r^3drd\theta ∫02π​∫01​r3drdθ 这时再去考虑积分就容易多了.

在介绍下面的习题的时候我们先考虑一个小问题 x = x 2 x=\sqrt{x^2} x=x2 ​ 吗？ 容易认为相等，其实不相等！只有当 x > 0 x>0 x>0 才等价. 其实右边函数 x 2 \sqrt{x^2} x2 ​ 在实数范围是一个分段函数. x 2 = { x 如果  x > 0 − x 如果 x ≤ 0 \sqrt{x^2}= \begin{cases} x &\text{如果 } x>0 \\ -x &\text{如果} x\leq0 \end{cases} x2 ​={x−x​如果 x>0如果x≤0​

问题2 求 ∫ 0 1 ∫ − y − y 2 y − y 2 1 − x 2 − y 2 d x d y \int_0^1\int_{-\sqrt{y-y^2}}^{\sqrt{y-y^2}}\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy ∫01​∫−y−y2 ​y−y2 ​​1−x2−y2 ​dxdy

解： 该积分区域 0 ≤ x ≤ 1 , − y − y 2 ≤ x ≤ y − y 2 0\leq x \leq1, -\sqrt{y-y^2}\leq x \leq \sqrt{y-y^2} 0≤x≤1,−y−y2 ​≤x≤y−y2 ​ 作极坐标变换，得到

∫ 0 π ∫ 0 sin ⁡ ( θ ) 1 − r 2 r d r d θ \int_0^{\pi}\int_{0}^{\sin(\theta)}\sqrt{1-r^2}rdrd\theta ∫0π​∫0sin(θ)​1−r2 ​rdrdθ 先积 r r r 得 − 1 3 ( ( cos ⁡ 2 ( θ ) ) 3 2 − 1 ) . -\frac{1}{3}\left((\cos^2(\theta) )^{\frac{3}{2}} -1\right). −31​((cos2(θ))23​−1). 注意这里很容易进行错误的化简，得到错误结果. 认为函数等价于 − 1 3 ( cos ⁡ 3 ( θ ) − 1 ) . -\frac{1}{3}\left(\cos^3(\theta) -1 \right). −31​(cos3(θ)−1). 其实不然， 道理和前面的小例子一样.

( cos ⁡ 2 ( θ ) ) 3 2 (\cos^2(\theta))^{\frac{3}{2}} (cos2(θ))23​ 实际上等价于下面函数： ( cos ⁡ 2 ( θ ) ) 3 2 = { cos ⁡ 3 ( θ ) 如果   − π 2 + k Z ≤ θ ≤ π 2 + k Z − cos ⁡ 3 ( θ ) 如果   π 2 + k Z ≤ θ ≤ 3 π 2 + k Z . (\cos^2(\theta))^{\frac{3}{2}}= \begin{cases} \cos^3(\theta) &\text{如果}\, -\frac{\pi}{2}+kZ\leq\theta\leq \frac{\pi}{2}+kZ\\ -\cos^3(\theta) &\text{如果}\, \frac{\pi}{2}+kZ\leq\theta\leq \frac{3\pi}{2}+kZ\\ \end{cases}. (cos2(θ))23​={cos3(θ)−cos3(θ)​如果−2π​+kZ≤θ≤2π​+kZ如果2π​+kZ≤θ≤23π​+kZ​. 结合 θ ∈ [ 0 , π ] \theta\in[0, \pi] θ∈[0,π] 进一步将所求积分转成 − 1 3 ( ∫ 0 π 2 cos ⁡ 3 ( θ ) d θ − ∫ π 2 π cos ⁡ 3 ( θ ) d θ ) + π 3 -\frac{1}{3}(\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^3(\theta)d\theta-\int_\frac{\pi}{2}^{\pi} \cos^3(\theta)d\theta)+\frac{\pi}{3} −31​(∫02π​​cos3(θ)dθ−∫2π​π​cos3(θ)dθ)+3π​ 考虑处理上面的第二项， 令 y = θ − π 2 y=\theta-\frac{\pi}{2} y=θ−2π​ 因为 ∫ π 2 π cos ⁡ 3 ( θ ) d θ = ∫ 0 π 2 cos ⁡ 3 ( y + π 2 ) d y = − ∫ 0 π 2 sin ⁡ 3 ( θ ) d θ = − ∫ 0 π 2 cos ⁡ 3 ( θ ) d θ , \int_\frac{\pi}{2}^{\pi} \cos^3(\theta)d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(y+\frac{\pi}{2})dy=-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 (\theta)d\theta=-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 (\theta)d\theta, ∫2π​π​cos3(θ)dθ=∫02π​​cos3(y+2π​)dy=−∫02π​​sin3(θ)dθ=−∫02π​​cos3(θ)dθ, 所以 所求积分归结为 − 2 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 3 ( θ ) d θ + π 3 . -\frac{2}{3}\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^3(\theta)d\theta+\frac{\pi}{3}. −32​∫02π​​cos3(θ)dθ+3π​.

至于 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 3 ( θ ) d θ \int_0^\frac{\pi}{2}\cos^3(\theta)d\theta ∫02π​​cos3(θ)dθ . 我们可以直接计算 2 3 \frac{2}{3} 32​ . ( sin ⁡ n ( x ) \sin^n(x) sinn(x) 在 [ 0 , π 2 ] [0, \frac{\pi}{2}] [0,2π​] 定积分有公式，见注1） 于是此时得到最终结果 − 4 9 + π 3 . -\frac{4}{9}+\frac{\pi}{3}. −94​+3π​. 注1 令 J n = ∫ 0 π 2 sin ⁡ n ( x ) d x J_n=\int_0^\frac{\pi}{2}{\sin^n(x)dx} Jn​=∫02π​​sinn(x)dx, 有下面成立 J 2 k = ( 2 k − 1 ) ( 2 k − 3 ) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 1 2 k ( 2 k − 2 ) ⋅ … ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ π 2 J 2 k + 1 = 2 k ( 2 k − 2 ) ⋅ … ⋅ 2 ( 2 k + 1 ) ( 2 k − 1 ) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ J_{2k}=\frac{(2k-1)(2k-3)\cdot\ldots\cdot 3\cdot1}{2k(2k-2)\cdot\ldots\cdot 4 \cdot2}\cdot \frac{\pi}{2}\\ J_{2k+1}=\frac{2k(2k-2)\cdot\ldots\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdot\ldots\cdot 3}\cdot J2k​=2k(2k−2)⋅…⋅4⋅2(2k−1)(2k−3)⋅…⋅3⋅1​⋅2π​J2k+1​=(2k+1)(2k−1)⋅…⋅32k(2k−2)⋅…⋅2​⋅

问题2 来自无敌猪猪侠, 动机是想问 Maple 能否直接求解, 试了试 Maple2019 是可以直接求解的. 时间：2020 年 4 月 2 日.