∬ D f ( x , y ) d σ = lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n f ( a + b − a n i , c + d − c n j ) ⋅ b − a n ⋅ d − c n \iint_Df(x,y)d\sigma=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i,c+\frac{d-c}{n}j)\cdot\frac{b-a}{n}\cdot\frac{d-c}{n} ∬D​f(x,y)dσ=n→∞lim​i=1∑n​j=1∑n​f(a+nb−a​i,c+nd−c​j)⋅nb−a​⋅nd−c​ 简单来说就是凑出 i n \frac{i}{n} ni​ 、 j n \frac{j}{n} nj​ 和两个 1 n \frac{1}{n} n1​ ，然后化为： ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 f ( x , y ) d y \int_0^1dx\int_0^1f(x,y)dy ∫01​dx∫01​f(x,y)dy

已知函数： I = ∬ D f ( x , y ) d σ I=\iint_Df(x,y)d\sigma I=∬D​f(x,y)dσ，若区域 D D D 具有某种对称区域 D 1 和 D 2 D_1和D_2 D1​和D2​ ：

若将 D D D 中的 x , y x,y x,y 对调后， D D D 不变，则： I = ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ D f ( y , x ) d x d y I=\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_Df(y,x)dxdy I=∬D​f(x,y)dxdy=∬D​f(y,x)dxdy 则可化简积分： I = 1 2 ∬ D f ( x , y ) + f ( y , x ) d x d y I=\frac{1}{2}\iint_Df(x,y)+f(y,x)dxdy I=21​∬D​f(x,y)+f(y,x)dxdy

一元积分可用周期性进行化简

交换 x x x 与 y y y 的积分次序

∬ D f ( x , y ) = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ 1 ) r 2 ( θ 2 ) f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) r d r \iint_Df(x,y)=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta _1)}^{r_2(\theta _2)}f(r\cos{\theta},r\sin{\theta})rdr ∬D​f(x,y)=∫αβ​dθ∫r1​(θ1​)r2​(θ2​)​f(rcosθ,rsinθ)rdr

函数化简的必要操作

∬ D f ( y ) d σ = ∫ a b d x ∫ 0 y ( x ) f ( y ) d y = ∫ a b F ( y ( t ) ) ⋅ x ′ ( t ) d t \iint_Df(y)d\sigma=\int_a^bdx\int_0^{y(x)}f(y)dy=\int_a^bF(y(t))\cdot x'(t)dt ∬D​f(y)dσ=∫ab​dx∫0y(x)​f(y)dy=∫ab​F(y(t))⋅x′(t)dt

S = ∬ D d σ S=\iint_Dd\sigma S=∬D​dσ

∬ D f ( x , y ) d σ = f ( ξ , η ) ⋅ σ 0 \iint_Df(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)\cdot\sigma_0 ∬D​f(x,y)dσ=f(ξ,η)⋅σ0​其中 σ 0 \sigma_0 σ0​ 为区域 D D D 的面积