二重积分和雅可比行列式 |
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我们以二重积分为例进行说明,首先说结论: 一、结论若x = x(u, v), y = y(u, v)存在偏导数,则二阶雅可比行列式为 dxdy = |J2| dudv, (J2的绝对值),且 其中积分区域 二重积分的定义中指出,将积分区域 Δσ1, Δσ2, …, Δσn, 其中Δσi表示第i个小闭合区域的面积,在闭合区域上取一点(ξi, ηi), 这一点的函数值与区域Δσi的乘积的总和为 dσ为小闭合区域的面积,假设我们将Dxy分隔为一个一个小矩形区域,每一小块积分区域Δσi 在uv坐标系中都对应一块积分区域Δσi',它们是一一对应的,并且Δσi=|J2|Δσi',|J2| 是雅可比行列式的绝对值,可能是常量,但一般情况下是一个变量,所以我们可以保证以下等式成立: 在xy坐标系中第i块积分区域上任取一点(ξi, ηi),都能在uv坐标系中的第i块积分区域中找到一点(ξi',ηi'),并满足 ' 故,两边取极限,二重积分也就相等,即一中结论成立。 下面我们主要说明为什么 首先我们应该怎么理解dxdy,在xy坐标系中,dx和dy可以看成是小矩形的长和宽,它们相互垂直,dxdy可以简单的理解为两个标量相乘求面积,用来代替Δσi,但是在uv坐标系中,du和dv相互垂直,但是dx和dy代表的是一个平行四边形的两条边,并不垂直, 图一: 两边取模,dxdy = |J2|dudv https://www.zhihu.com/question/274450639, 另外也可以参考MIT的微积分课程: https://open.163.com/movie/2010/8/G/2/M6TUC9K75_M6TUID0G2.html, 18课24分钟,更简单的描述过程。 其实在xy坐标系中我们也可以将dxdy理解为向量叉乘的模,只不过他们夹角是90度,所以等于标量乘积。 注:以上描述非常可能是错误的,并没有参考正规资料,只是一个知乎网友提供的描述(见上述链接),我并不确定是否能把dxdy、dudv写成向量的形式,所以请批判性的参考,而且,我无法解释为什么最终du dv两个向量取模没有乘以其夹角的正弦值,如果上述是完全是错误的那么我们只能用面积比值强行解释了: 解释2参考:https://wenku.baidu.com/view/f56aa732b94ae45c3b3567ec102de2bd9605de8b 我们将积分区域Dxy按照上图右进行划分成N多个小块,根据微积分的定义,计算结果和微分方式无关,所以我们把它为分成这种扭曲的方式,每一个扭曲的小块一一对应uv坐标系中每一个规则的矩形,切他们的面积比值为|J|,也就是dA = |J|dudv 由于积分的计算结果与积分区域的划分方式无关,所以,其中
以下是上上次编辑此篇博客时留下的,但是没有图,可以忽略。 下面通过 直观的解释来理解为什么 |
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