数学分析：重极限和累次极限

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定义：

以二元函数为例，

重极限：是指两个自变量x、y，同时以任何方式趋于 $x_{0}$ 、 $y_{0}$ 时，函数 $f(x,y)$ 的极限;

累次极限：是指两个自变量x、y,以一定的先后顺序相继趋于 $x_{0}$ 、 $y_{0}$ 时，函数 $f(x,y)$ 的极限；

理解：

过去认识的误区：重极限是所有路径，累次极限是特殊路径。这样想是不完全正确的：重极限只取了一次极限。而，累次极限是第一次对函数值取极限，第二次是对极限值再次求极限，这点体现了累次极限并不是严格意义上的特殊路径。所以也就不难理解：为什么有的重极限不存在，累次极限却是可以存在的？（如果是照着所有路径和特殊路径的方向去想，是很难接受这点的）一个热心网友提到：断崖。"断崖就是重极限不存在，而累次极限可能存在的。"有点意思，但是觉得有些牵强，留些空白，日后来补，，，，，思考一个例子： $y=\sin\frac{1}{x}$ ,是一个震荡函数，在靠近 $x=0$ 处上下剧烈震荡。当(x,y)趋于原点的时候，y趋于0;但是，当x趋于0时，y是没有极限的,即这种累次极限是不存在的；当y趋于0时，却是可以的。这个例子来源于另外一个热心网友。貌似所言有理。待补，，，，另一个华东师大教材的例子： $f(x,y)=x\sin\frac{1}{y}+y\sin\frac{1}{x}$ ,当(x,y)趋于(0,0)时，函数值是趋于0的（具体过程考虑放缩成|x|+|y|）,也就是重极限存在。但是，对累次极限，不管是先令x趋于0，还是y趋于0，函数值都是不存在极限的，也就是不存在累次极限。📕如果你依然觉得重极限是全部路径、累次极限是特殊路径的话，那么这里就是一个很奇怪、很反常的例子，即累次极限不存在，重极限也是可以存在的。📕重极限和累次极限这三个极限如果都存在的话，必然相等。不过，已知重极限存在和一个累次极限存在，另一个累次极限可能存在，也可能不存在（4中的例子，取一半就是）。累次极限的可交换为计算多元函数极限提供了方便，而实现交换需要重极限存在，这一点由5可以看出。如果一个累次极限和重极限存在的话，那么这个累次极限和重极限一定相等。但是这里却推不出另外一个累次极限是否存在的问题。从7这一条，我们可以推出，如果两个累次极限和一个重极限都存在的话，那么这三个极限一定相等；还可以推出如果两个累次极限存在但不相等，那么重极限必然不存在。

求解二重极限中的极坐标变换

为了求解二重极限，我们通常希望能将二元函数求极限的问题转化到一元函数求极限的问题，于是有了我们最常见的两种方法：①直线y = kx，②极坐标变换（ $x = \rho sin\theta , y = \rho cos\theta$ ）。

提前说明:直线趋近其实不能求解二重极限，它更多地是用来证明二重极限不存在（具体做法是把y = kx 代入到 f(x,y) 中，取极限后的结果如果是一个关于k的函数，那么该二重极限不存在。它背后的原理是我们找到了两个不同的路径使得极限值不同，所以极限是不存在的。另外，如果取极限出来的结果是一个常数c1，我们也不能说该二重极限是存在的，只是说明了直线路径下该极限是存在的，而二重极限是所有路径，我们需要找另外一个路径使得函数极限是另外一个常数c2(且c1≠c2)，这样我们才能说明该二重极限不存在。）

使用极坐标变换方法求解二重极限之前，·首先·确保二元函数极限是存在的（这里说法并不绝对，具体地，请参考这篇文章）。如果二重极限本身不存在，但却使用了极限坐标变换方法求解，可能会得出一个数值结果，但是该结果并不是我们所需要的二重极限（也就是因为违规操作，把题做错了）

之前我一直想不通的是：为什么极坐标变换可以保证二重极限的趋近方式（“同时”，”任意方式“），而直线趋近是不可以的呢？

我想，这是因为：对于二元自变量（x,y），直线趋近只有一个方程，一个参数（k）。而极坐标变换是两个方程、两个坐标（ $\rho,\theta$ ）,所以说二元自变量可以等价地表示成极坐标，从而使用一元函数求极限的方法求解二元函数极限问题。（这个转化很微妙，不好用文字描述，不然很可能会越说越难懂，以上只是鄙人的粗略理解。）

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