TOC 为了描述拓扑能带绝缘体的理论，我们将使用绝热相的语言。在这一章中，我们回顾了一些基本概念：Berry相、Berry曲率和Chern数。我们在量子力学中进一步描述了Berry相与绝热动力学之间的关系。最后，我们用一个两级系统作为一个简单的例子来说明这些概念。关于教学介绍，我们建议读者参考Berry的原始论文[4]，以及“美国物理学杂志”的论文[11，8]。对于固体物理的应用，我们将主要建立在Resta的讲稿[14]和评论论文[18]的基础上。

我们从关于希尔伯特空间中态的相对相位的简单问题开始。

在量子力学中，物理系统的状态由希尔伯特空间中的矢量表示，直到乘以复相因子(等价类，矢量射线)。我们把这个乘法称为规范变换，它改变了矢量|Ψ>， 规范变换： 换句话说，状态的相位依赖于规范，因此是不可观测的。

规范依赖性也使得两态的相对相位不确定。考虑两种可能的系统状态，向量|Ψ1>和|Ψ2>是非正交的，⟨Ψ1∣Ψ⟩2≠0。我们可以尝试将它们的相对相位γ12定义为 其中arg(z)表示复数z的相位，规定为arg(z)∈(−π，π]。显然，相对相位γ12满足（1.3）（此式重要）

然而，相对相位在局域规范变换下并不是不变的，

根据（1.3）可以知道。

图1.1：离散量子态的Berry相位、Berry通量和Berry曲率。(A)由N=3个状态组成的回路L的贝里相位γL由相对相位γ12、γ23、γ31定义。(B)定义在态的格子上的环的Berry相可以表示为【该环所包围的元格】的Berry相F1,1 and F2,1之和。元格贝里相位Fn,m也称为贝里通量。

三个或更多状态的相对相位具有规范不变的含义，这可能会让人感到惊讶---我们称之为离散Berry相。取希尔伯特空间中的N≥3个态，Ψj⟩, with j=1,2,…,N, with ⟨Ψj∣Ψj+1⟩≠0 for all j。沿着这一系列态的循环（loop)，如图1.1所示，我们将循环的Berry相位定义为

（1.6）确实成立，注意第一个等号好像说明：γL=γ12+γ23+…+γN1，但其实此式不一定对，因为此式可以超出[−π，π)，而(1.6)的对循环的贝里相位的定义中有arg，是限制在[−π，π)中。可以见（1.16）的注释就知道。） 在（1.6）的第一个等号式子中代入（1.3），即得证第二个等号。

为了表明上面定义的Berry相位是规范不变的，我们用规范不变的投影算符重写它。对于由|Ψ>表示的量子态，表示该态的规范不变东西是投影算符，

上面定义的Berry相位仅使用规范不变投影算符重写为环路中的状态，

证明：

尽管Berry相不是某个算符的期望值，但它是一个规范不变量，因此，它可能具有直接的物理意义。我们会发现这样的意义，但首先，我们想要对它的行为有更多的直觉。

考虑一个量子态的希尔伯特空间，以及一个有限的二维直角格子，它的点被标记为n，m∈Z，1≤n≤N和1≤m≤M。分配一个希尔伯特空间的量子态|Ψn,m⟩到每个格点。假设你想知道环路L围绕这个集合的Berry相位：离散情况，环路的贝里相位：

注意在图1.1中格子指标n和m，是行指标在后面，列指标在前面，n是列指标，m是行指标！故根据图（b)就可以知道（1.9）成立。

如图1.1所示。虽然Berry相是一个规范不变量，但根据上面的公式（1.9）计算它需要将许多依赖于规范的复数相乘。另一个计算贝里相位的方法：利用(1.8)，将规范独立的矩阵相乘，然后求迹。

有一种方法可以将循环的Berry相位的计算分解为与规范无关的复数的乘积。对于网格上的每个元格(基本正方形)，每个元格用n,m标记，其中n，m是这个元格的左下角的格点坐标，我们使用围绕其边界的相对相位之和来定义【元格的Berry通量Fn,m】: for n=1,…,N and m=1,…,M.

（1.10）好像是： (1.10.2)，但其实不是，原因见（1.16）的注释！

请注意，Berry通量本身就是Berry相位，因此是规范不变的。或者，我们也可以写

在（1.10）中代入（1.3）即得证。

现在考虑所有元格相位因子e−iFnm的乘积，

第二个等号是根据(1.10.2)得到的。多或少2π的整数倍对（1.12）这个指数表达式无影响。

格子的每个内边由两块元格共享，因此在乘积中出现两次。然而，由于我们固定了元格相位的方向，这两个贡献总是相互复共轭，并相互抵消。因此，公式(1.12)右侧的指数简化为公式(1.9)中出现的指数，这意味着

相互抵消指的是：（1.12）中的求和：中会出现图（b)中的抵消，因为对（1.3）：取复共轭就会发现γ12=−γ21，故抵消。最后只有整个NxM的格子的边缘有贡献，故公式(1.12)右侧的指数简化为公式(1.9)中出现的指数。 （1.13）证明：将（1.9）代入(1.12)即得证。

这一结果使人想起连接开曲面上矢量场的旋度积分和沿曲面边界的矢量场的线积分的Stokes定理（旋面线）。在公式(1.13)中，相对相位之和，即Berry相位γL，起到线积分的作用，而Berry通量的两倍和起到面积分的作用。与斯托克斯定理相比，有一个重要的区别，即不能保证【总Berry通量】和Berry相位相等：式(1.13)仅说明它们相等或相差2π倍整数。

考虑如上所述排列在网格上的希尔伯特空间中的状态|Ψn，m>，其中n，m∈Z，1≤n≤N，1≤m≤M，但是现在假设这个网格在轮胎面上。我们使用与(1.11)中相同的定义来定义每个元格的Berry通量，但是现在用n modN+1代替n+1，用m modM+1代替m+1。 所有元格的Berry通量相位因子的乘积现在是1，

（1.14）证明：可以应用与公式(1.13)相同的推导，但现在每条边都是内部边，因此对乘积的所有贡献都被取消。>故（1.12）中的求和：等于0，故（1.14）得证。

与我们的结构相关的陈数Q是通过形成闭合轮胎面的所有元格的Berry通量之和来定义的：

陈数Q是通过规范不变的Berry通量来定义的，这一事实确保了陈数Q本身是规范不变的。此外，取(1.14)的arg，就证明了陈数Q是整数。

值得更深入地研究一下陈数的离散公式。我们可以定义改进的贝里通量F~nm为：

这个公式不是和贝里通量的定义（1.10）一样吗？但其实有差别：根据复变函数，（1.10）中的arg是取辐角的主值，argz的范围是[−π，π)。故区别是贝里通量Fnm（1.10）算出的结果是限制在[−π，π)，而改进的贝里通量F~nm可以超出[−π，π). 即： 如果对于某个n，m，我们有−π≤F~nmF~nm=Fnm。但是，F~nm可以超出范围[−π，π)：然后，因为对数取在公式(1.10)中，通过加2π的(正或负)整数倍会将Fnm带回[−π，π)。

由于每个边缘在两个相邻的元格之间共享，所以所有元格上的修改的Berry通量的总和为零，

如果对于某个n，m，我们有−π≤F~nmF~nm=Fnm。但是，F~nm可以超出范围[−π，π)：然后，因为对数取在公式(1.10)中，通过加2π的(正或负)整数倍会将Fnm带回[−π，π)。在这种情况下，我们说第nm元格包含Qnm∈Z个旋涡，其中一个数Qnm定义为： 我们已经找到了一幅关于陈数的简单图片：陈数Q——一个封闭表面上所有元格的Berry通量之和——是这个表面上的涡数（漩涡的数目）。

虽然我们在这里证明了它是轮胎面的特例，但它的推导很容易推广到所有可定向的闭曲面。我们把重点放在轮胎面上，因为这种结构可以作为一种非常有效的数值公式来离散化和计算二维绝缘体的(连续)陈数[7]，将在1.2.4节中定义。

现在我们假设不是离散的状态集{|Ψj⟩}，而是一个连续，|Ψ(R)>，其中R是某个D维参数空间P的元素。

我们取一条光滑的有向曲线C，即参数空间P中的一条路径， 我们假设|Ψ(R)>的所有分量都是光滑的，至少在曲线C的开邻域内是光滑的。曲线C上两个相邻状态之间的相对相位，对应于参数R和R+dR，是：

在dR→0中获得一阶。

（1.21）证明:

故：

从（1.21）中定义Berry联络，

这里，|∇RΨ(R)⟩是通过要求对每个希尔伯特空间向量|Φ>定义的，即 (1.22)中的第二个等式的证明是从范数守恒性出发，∇R⟨Ψ(R)∣Ψ(R)⟩=0。

第二个等号的证明见第二章 贝里相位 最终版 我觉得benvig和沈书写得不够好，还应该学电子结构中的贝里相位（写得好）、a short course书

我们已经看到，在离散情况下，两态的相对相位不是规范不变的，Berry联络也不是规范不变的。在规范变换下，它变为

证明见第二章 贝里相位 最终版 我觉得benvig和沈书写得不够好，还应该学电子结构中的贝里相位（写得好）、a short course书

考虑参数空间中的一条闭合的有向曲线C，即一个环。环路的Berry相位定义为 闭合有向曲线的Berry相位是规范不变的，因为它可以解释为规范不变的离散Berry相的极限情况，即(1.6)。

与上面的离散情况一样，我们想把规范不变的Berry相表示为规范不变量的面积分（见(1.13)）。这个量就是贝里曲率。类似于离散情况，我们考虑一个二维参数空间，为简单起见，我们将参数记为x和y，在这个二维参数空间中取一个单连通区域F，该曲面的定向边界曲线用∂F表示，并考虑与该边界相对应的连续Berry相位。

在将Berry相位与Berry曲率联系起来之前，关于所考虑状态的流形|Ψ(R)>的一个重要注记是有序的。从现在开始，我们考虑生活在我们的二维参数空间中的一种态的流形，它是光滑的，即映射R→↦|Ψ(R)⟩⟨Ψ(R)|是光滑的。重要的是，这个条件并不一定意味着函数R↦|Ψ(R)⟩(它是给定规范中的波函数)是光滑的。(有关进一步的讨论和例子，请参见第1.5.1节)。然而，即使R↦|Ψ(R)⟩在参数空间的一个点R0上不光滑，人们也总能找到另一种规范，其中波函数|Ψ′(R)⟩是(i)局部光滑(在R0点上光滑)，以及(ii)局部生成与|Ψ(R)⟩相同的映射，即在R0的无穷小邻域中有|Ψ′(R)⟩⟨Ψ′(R)|=|Ψ(R)⟩⟨Ψ(R)。用量子力学微扰论可以给出支持后一种说法的直观论据。取哈密顿函数H^(R)=−|Ψ(R)⟩⟨Ψ(R)，在R0的无穷小邻域中，H^(R0+ΔR)=H^(R0)+ΔR⋅(∇H^)(R0)。根据一阶微扰理论，后者的基态由下式给出： 其中态|Ψn(R0)⟩(n=2,3,…,D)与|Ψn(R0)⟩一起构成希尔伯特空间的基。一方面，(1.26)定义了在R0中光滑的函数，因此满足上述条件(i)。另一方面，由于|Ψ′(R0+ΔR)⟩是H^(R0+ΔR)的基态，所以也满足条件(ii)。

没时间

现在回到我们最初的目标，试着把Berry相表示成规范不变量的曲面积分。我们首先将Berry相位与其离散的对应贝里相位联系起来： γ(C)=limΔx,Δy→0γ∂F            (1.27) (1.27)左边是连续情况的贝里相位，右边是极限时离散情况的贝里相位。 其中，我们使用步长为∆x，∆y的正方形网格离散参数空间，并将积分表示为离散的Berry相位γ_{∂F}，其中，在无限精细网格的极限下，近似于∂F的回路。

然后，从公式(1.27)和公式(1.13)中的Stokes-型定理得到

其中，对nm求和是对形成开表面F的元格的总和。

（1.28）证明：根据（1.13）：知道： 离散情况环路的贝里相位除了（1.9）之外的另一个表达式： γL=−arg⁡exp⁡[−i∑n=1N−1∑m=1M−1Fnm]（1.13.2）

对（1.13）取arg即得证（1.13.2）。

和连续情况环路的贝里相位的定义： 和（1.27）知道：（1.28）左右两边指数的辐角主值都相等，则算出来的指数也应相等，故（1.28）得证。

此外，让我们取一个波函数|Ψ′(R)⟩和其相应的在第nm元格中光滑的贝里联络A′（根据（1.22）就可以求出此贝里联络）；如果已经光滑，则这可以是|Ψ(R)>和A. 然后，由于Berry通量的规范不变性，我们有

其中，Fnm′是对应于局部光滑规范的Berry通量。

|Ψ′(R)⟩是|Ψ(R)⟩进行了规范变换吧，见前一小节态流形的光滑性。

此外，在无限精细网格的极限下，有

（1.30）证明：因为离散情况元格的贝里通量Fnm′就是元格环路的贝里相位，根据 和就知道元格环路的贝里相位（1.30）。得证。

Berry联络在Rnm=(xn+Δx2,ym+Δy2)附近的泰勒展开式到一阶，得：

因此，利用以下贝里曲率的定义：

我们得到的贝里曲率是一个规范不变的量，因为它是通过规范不变的Berry通量定义的，并且与Berry联络通过（1.33）相联系：贝里曲率：

我们可以重新表述(1.31)式：第nm元格的贝里通量可以表示为元格上的贝里曲率与元格的表面积相乘。

将(1.29)和(1.31)代入(1.28)，得到： 这是结果(1.13)：exp⁡[−i∑n=1N−1∑m=1M−1Fnm]=e−iγL的连续版本。等式(1.34)也可以改写为

连续情况，环路的贝里相位：

根据（1.25）：γ(C)=−arg⁡exp⁡[−i∮CA⋅dR]即得证。

通向比（1.34）更强的一个结果的捷径被提供在当|Ψ(R)>在开曲面F的邻域中是光滑的特殊情况下。然后，直接应用二维斯托克斯定理(注意这是参数R为二维的情况，（1.37）才是三维情况） 综合（1.34）和（1.36），我们可以说，如果态的集合|Ψ(R)⟩在F的邻域内光滑，Berry联络的线积分等于Berry曲率的面积分，但在其他情况下它们可能相差2π的整数倍。

（1.34）的成立就并没有要求态的集合是光滑的，这就是所谓的”其他情况“。故根据（1.34）知道：此时，Berry联络的线积分与Berry曲率的面积分可能相差2π的整数倍。

我们简要讨论了三维参数空间的情况。这在两级系统的背景中将特别有用。从三维参数空间中二维开曲面F上的规范|Ψ(R)>在F的邻域内光滑的情况出发，直接应用三维斯托克斯定理将A的线积分转化为A的旋度的曲面积分，从而得到 其中Berry曲率定义为：

它是规范不变的，就像在二维情况下一样。即使|Ψ(R)>在F上不光滑，以下公式成立：环路的贝里相位：

这类似于二维结果（1.34）（1.35）。

进一步注意，固定边界曲线∂F的Berry相位γ(∂F)不仅是规范不变的，而且对于嵌入在三维中的二维曲面F的连续变形也是不变的，只要Berry曲率沿这路线处处是光滑的。

我写的：在三维参数空间中二维开曲面F上的规范|Ψ(R)>在F的邻域内光滑的情况下，因为根据（1.39），贝里曲率的线积分与贝里相位有关。而线积分要算下去，Berry曲率沿这路线处处是光滑的，否则不能用斯托克斯定理，这是高数中斯托克斯定理的要求：

我们还注意到，虽然我们在这里使用了三维符号，但是上述结果可以推广到参数空间的任何维度。贝里联络和Berry曲率的符号A和B表明它们非常类似于矢量势和磁场。这是一个有用的类比，例如，来自定义(1.38)的∇RB=0（梯度不能旋）。然而，并不是在每个贝里曲率为非零的问题中都有物理磁场(physical magnetic field)。

物理磁场是什么意思？不知道

在离散情况下，我们将Chern数定义为位于在轮胎面(或任何其他可定向闭合曲面)上的正方形格子的Berry通量之和。这里，我们取一个具有轮胎面的拓扑结构的连续参数空间。其动机是代表固体晶体材料的二维晶格的布里渊区。布里渊区具有轮胎面拓扑，因为动量矢量(kx,ky),(kx+2π,ky)和(kx,ky+2π)是等价的。 很自然地，在连续情况，陈数的的定义中，Berry通量的总和被Berry曲率的表面积分所代替：

证明：根据离散情况陈数： 在（1.15）中代入：

即可以知道（1.40），不过这里连续情况的陈数多定义了一个负号。

由于这可以解释为离散陈数的一个连续极限，它继承了后者的性质：连续情况的陈数是一个规范不变整数。

为了以后的参考，让我们把计算二维晶体中电子能带的陈氏数所用的符号定下来。为了简单起见，考虑一下正方形晶格，它也有一个正方形的布里渊区。我们的参数空间P现在是二维布里渊区，具有如上所述的轮胎面拓扑。这些参数是动量矢量k的笛卡尔分量kx，ky，∈[−π，π)，电子能带和相应的电子波函数可以从体动量空间哈密顿量H^(kx,ky)得到（原因可以见SSH模型一章的推导过程）。后者定义了薛定谔方程

其中n=1，2，......是能带指数，它的值的个数和我们晶格模型内部自由度的希尔伯特空间的维数一样多（为什么？与固体物理或第二章SSH模型有关？算了，没时间）。请注意，只有在该能带与其他能带之间有能隙隔开的情况下，定义第n个能带的Berry联络、Berry曲率和Chern数才是有可能的。

根据一般定义(1.22)，第n个能带的贝里联络为 第n个能带的陈数，与(1.40)和(1.33)相对应，为：

电子能带结构理论的某些近似提供了可以解析地进行对角化的【低维动量空间哈密顿量】，从而允许对电子能带的陈数进行解析推导。然而，更常见的情况是，电子波函数是在布里渊区(kx，ky)这些点的有限分辨率网格（finite resolution frid)上通过数值技术获得的。在这种情况下，仍然可以使用其定义的离散版本(1.15)来有效地计算所选能带的陈数。

但是连续情况的陈数公式比离散情况的公式多了一个负号，不知道为什么？

一个绝缘体的一个能带的陈数在以下意义上是一个拓扑不变量。可以设想，描述晶格上电子的哈密顿量是绝热形变的，也就是说，在第n个带与其他带之间的能隙保持打开的情况下，哈密顿量是连续形变的。在这种情况下，Berry曲率连续变化，因此它对布里渊区的积分(即Chern数)不能改变，因为后者的值被限制为整数。

但是陈数为什么不能跳跃性地从一个整数变成另一个陈数从而改变？是因为根据（1.43），当贝里曲率变化很小很小，其对布里渊区的积分也不可能变化一个整数这么多吗？但是我觉得当贝里曲率连续绝热变化很多时，会不会陈数能变化一个整数？可能是在绝热变化不是很多情况下以上结论才成立？不知道，以后再说，这个问题重要

如果晶体哈密顿量的形变使得将第n个带与相邻带分开的一些能隙闭合并重新打开，即哈密顿量的形变不是绝热的，那么陈数可能会改变。从这个意义上说，对于二维晶格模型，陈数是一个类似于一维SSH模型的缠绕数的拓扑不变量。

一维模型：缠绕数；二维模型：陈数

在大多数感兴趣的物理情况下，我们感兴趣的几何特征(Berry相位)的态的集合是某些哈密顿ˆH的本征态。取一个具有D个实参数的物理系统，这些参数被聚集成一个形式矢量R=(R1，R2，.。。。，Rd)。哈密顿量是参数的光滑函数ˆH(R)，至少在感兴趣的区域。我们根据能量En(R)来对哈密顿量的本征态进行排序， 我们称本征态集合|n(R)>为快照基。 快照基的定义涉及规范固定，即指定每个|n(R)>的任意前置相位因子。这可能是一个棘手的问题：即使在存在【快照基的所有元素都是参数的光滑函数】的情况下，构建该规范也可能非常困难。

我们考虑以下问题。我们假设系统以R=R0为初始值，并且处于谱的离散部分的本征态|n(R0)>，即En(R)−En−1(R) and En+1(R)−En(R)为非零。因此，在时间t=0，我们有 现在假设在时间t=0→T期间参数向量R缓慢变化：R变为R(t)，并且R(t)的值定义了一条连续的曲线C。此外，假设|n(R)>沿着曲线C光滑。系统的状态根据依赖于时间的薛定谔方程演变：

此外，假设R以这样一种方式变化，即态|n(R(t))>附近的能隙在任何时候都保持有限。然后，我们可以选择R(t)沿路径C的变化率，使其与对应于能隙的频率相比足够慢，因此绝热近似成立。在这种情况下，系统保持在能量本征态|n(R(t))>，仅获得一个相位。我们现在要找出这个相位。

借助于绝热近似，我们取一个拟设： 为了提高可读性，在下面的内容中，我们经常省略t参数，这样不会造成混淆。(1.47)的时间导数为：

为了说明我们所说的|ddtn(R(t))⟩是什么意思，我们用一个固定的基明确地写出它，即R=R0的本征态组成的基： 我们发现，对于参数空间中由R(t)描绘的曲线C，存在绝热相位γn(C)，其表示为

A related result is obtained after a similar derivation, if the parameter space of the R points is omitted and the snapshot basis（快照基） |n(t)⟩ is parametrized directly by the time variable. Then, the adiabatic phase is 公式(1.53)允许我们将本节的关键信息表述如下。考虑哈密顿量绝热循环变化的情况，即当曲线C闭合时，R(T)=R0。在这种情况下，绝热相位为

因此，态在哈密顿量循环绝热变化过程中获得的绝热相位相当于(is equivalent to)参数空间中表示哈密顿量路径的闭合定向曲线所对应的Berry相位。 还有两点要提出来。首先，从表面上看，我们的推导似乎做得太多了。似乎我们已经给出了薛定谔方程的精确解。我们在哪里使用了绝热近似？事实上，(1.52)并不意味着(1.51)。有关更完整的推导(显示非绝热项是如何出现的)，请参见[9]（9是格里菲斯的量子力学书）。第二点是关于Berry相位的可测性。在实验上检测相位的通常方法是通过干涉装置。这意味着将系统的波函数相干地分成两个部分，通过R(t) 和R′(t)使它们在参数空间中经历两次绝热旅行，然后将这两个部分重新组合在一起。干涉仅来自态之间的重叠：如果|n(R(T))⟩=|n(R′(T))⟩，则干涉最大，如果R(T)=R′(T)，则通常|n(R(T))⟩=|n(R′(T))⟩被确保。绝热相位γn and γn′的差异是与闭合回路C相关的绝热相位，闭合回路C是通过沿着t=0→T：R(t)前进，然后沿着t=T→0：R′(t)返回而获得的路径。

这里第二点讲的是AB效应实验，见华中师范量子力学书。 此1.3节的推导过程见：第二章 贝里相位 最终版 我觉得benvig和沈书写得不够好，还应该学电子结构中的贝里相位（写得好）

Berry给出了Berry曲率的两个实用公式[4]。在这里，我们以与三维参数空间相对应的形式来表示它们。为了得到二维情形（其中Berry曲率B是标量），人们可以将后者与下面讨论的三维情形的分量Bz联系起来；要推广到高于3维的情形，请参见Berry的论文[4]中的讨论。 Act with H^ towards the left in Eq. (1.60), rearrange, substitute into (1.57), and you obtain the second form of the Berry curvature, which is manifestly gauge invariant: 这表明，Berry曲率的单极子源，如果存在的话，就是简并点。

（1.61）左边B的角标n表明的是第n个能带的贝里曲率，对应能量En

式(1.61)的直接后果是，一个哈密顿量的所有本征态的Berry曲率之和为零。如果H^(R)的所有谱在沿一条闭合曲线C时是离散的，则可以将所有能量本征态的Berry相位相加。 The last equation holds because a→×b→=−b→×a→ for any two vectors a→,b→.

此1.4节推导过程见：第二章 贝里相位 最终版 我觉得benvig和沈书写得不够好，还应该学电子结构中的贝里相位（写得好）

到目前为止，大多数关于Berry相位和相关概念的讨论都是相当笼统的。在本节中，我们通过一个最简单的非平凡的例子来说明这些概念，即两级系统。

考虑描述一个两能级系统的哈密顿量： (1.63) .这里d扮演了前面几节中参数R的作用。 将参数空间定义在去掉原点的空间是因为（1.63）解出来的能量本征值是±|d|，故当d=0时，两个能带是相交的，为了避免这种能带交叠(简并），所以去掉原点。 本来一个2X2哈密顿量能写成单位矩阵和泡利矩阵。这里缺少σ0是因为即使考虑它，它也在贝里相位中不起作用。

一个两能带系统哈密顿量能写成（1.63）的原因：

这里图中写错了，应为：

将d化成极坐标， 本征方程： （1.65） 对应的本征态： （1.66） 对应的本征态： 以上两个本征态的表达式只依赖于d的方向中的和，且以上两个本征态表达式对范围都成立。

特别注意在科研计算中，不能随便在(1.66）乘一个系数，比如乘$2e^{i\phi}sin\frac{\theta}{2}$，因为从下面证明过程中知，这样会改变态的归一化，导致最后算出来的结果不对！

解方程: 陈鄂生书：

相位因子α和β的确定对应于确定一个规范。 现在考虑一些规范的选择。 选择。 首先，选择，用角标S表示此规范，得： （1.67） 我们可以通过选择另一个规范来解决在南极的这个问题。 （1.68） 而此公式在北极为：故此规范虽然在南极没有问题，但在北极存在问题。 norm:模 我们找不到一个表现良好的规范是不用惊讶的：根本没有表现良好的规范。在本章结束时，原因应该就清楚了。

考虑上一节中定义的两级系统。在参数空间R3{0}中取一条闭合曲线C。我们将在这条曲线上计算|−d⟩本征态的Berry相位γ−： 其中是边界为环C的任何曲面。(或者，直接用固定规范(例如，上面介绍的三种规范中的一种)来计算Berry相位是一个值得的练习题。)

在这里，我们可以辨认出原点的点状单极子源的场。然而，请注意，这个单极子作为电动力学的磁单极子存在于矢量d的抽象空间中，而不是实空间中。

参数空间中闭合环路C的Berry相位，根据公式(1.74)，是单极场通过边界为C的曲面S的通量。很容易证明，这是曲线所包含的立体角的一半。 换句话说，贝里相位是被C的图像包围的，投影到单位球的表面上，的面积的一半，如图1.2所示。

投影到单位球的原因是因为立体角的定义和单位球有关。以后查立体角，没时间

另一个能量本征态的Berry相呢？从方程。(1.75)，相应的Berry曲率B_{+}是通过倒置叉乘中因子的顺序得到的：这反转了叉积的符号。因此，基态和激发态的Berry相满足这一关系

人们可以在布洛赫球面上看到同样的结果。由于=0，对应于|−>的点与对应于|+>的点相反。因此，由|−>在Bloch球面上跟踪的曲线是由|+>跟踪的曲线的逆像。这两条曲线具有相同的方向，因此具有相同的面积，具有相反的符号。

图1.2：布洛赫球。一般的无迹有隙两能级哈密顿量是泡利矩阵的线性组合，ˆH(d)=d·ˆσ。这可以用R3∖{0}中的一个点来标识。本征能由点到原点的距离给出，本征态仅取决于矢量d的方向，即，如子图(a)和等式(1.64)中所定义的角度θ和ϕ。当闭合曲线C投影到Bloch球面上时，其Berry相位是该曲线所包围的面积的一半。

我们现在讨论确定双能带模型中陈数的两种有用的图解方法，这两种方法是最简单有趣的情况。我们考虑一种形式的哈密顿量， 其中k是闭曲面（即没有边界的二维可定向流形）上的参数。在最有用的例子中，M是轮胎的表面，但它也可以是例如球体的。我们用k表示这个参数，因为在一些我们感兴趣的情况下，这个参数将是一个二维hopping模型的波数，然后k就生活在一个轮胎面形布里渊区。我们假设函数d(k)是光滑的。 在哈密顿量ˆH(K)有能隙的情况下，它的两个本征态定义了两个定义良好的量子态流形、两个能带。我们将这两个本征态表示为

能隙条件为：

确定陈数的一种方法是-类似于我们在第二章中对缠绕数所做的那样-将视线交叉点计数到无穷远。为此，考虑d向量空间R3{0}中的变形闭合曲面，该变形闭合曲面是通过使用函数d(k)映射闭合曲面M而获得的。这是一个定向的表面：它的内部可以被涂成红色，它的外部可以被涂成蓝色。 |−I的陈数(使用Sect.。？？，of|U1(K)i)是B−(D)通过这个轮胎面的流量。我们在上面已经看到，B_−(D)是在原点d=0处的单极子的磁场。如果原点在轮胎面内，则该通量为+1。如果在圆环外，则为0。如果圆环内翻过来并包含原点，则通量为-1。轮胎面本身也可以相交，因此包含原点的次数不限。 计算轮胎面包含原点的次数的一种方法如下。取任何一条从原点到无穷远的直线，计算它与圆环相交的次数，其中+1表示从内部相交，−1表示从外部相交。总和与直线的形状无关，只要它从原点一直走到无穷远即可。

在两带模型中，陈数也可以看作是闭合表面M上的斯格明子数，这类似于陈数是闭合表面上涡旋的总和，如第1.1.4节所示。

尽管两个量子态的相对相位依赖于规范，但沿至少三个态的环路的相对相位是规范不变的。这是贝里相位。贝里相位是贝里通量、贝里曲率和陈数的基础。这些公式可以针对离散的和连续变化的参数来表示。

counterclockwise：逆时针