三维坐标旋转矩阵 |
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1.三维坐标旋转矩阵的推导过程 任何维的旋转可以表述为向量与合适尺寸的方阵的乘积。最终一个旋转等价于在另一个不同坐标系下对点位置的重新表述。 坐标系旋转角度θ则等同于将目标点围绕坐标原点反方向旋转同样的角度θ。 若以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z分别作为旋转轴,则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。 假设三维坐标系(右手坐标系,拇指即指向X轴的正方向。伸出食指和中指,如右图所示,食指指向Y轴的正方向,中指所指示的方向即是Z轴的正方向。要确定轴的正旋转方向,用右手的大拇指指向轴的正方向,弯曲手指。那么手指所指示的方向即是轴的正旋转方向)中的某一向量
一、绕Z轴逆时针旋转θ角 绕Z轴旋转,相当于在XY平面的投影OM绕原点逆时针旋转,如下图所示,OM旋转θ角到OM’。
设旋转前的坐标为 对于和进行三角展开可得:
且有
由此可得: 二. 绕X轴逆时针旋转θ角
三. 绕Y轴逆时针旋转θ角 以上旋转矩阵都是在右手坐标系下计算的。三维旋转矩阵就可由以上三个矩阵相乘得到。 这里的旋转矩阵是需要左乘的,而且以逆时针为正。R是一个旋转矩阵,X是一个三维列向量[x,y,z]’。 RX就是把X旋转。
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