1、一阶线性递推式： a n + 1 = c a n + d , c ≠ 0 , c ≠ 1 a_{n+1}=ca_n+d,c\neq 0,c\neq 1 an+1​=can​+d,c​=0,c​=1，已知 a 1 a_1 a1​的值 特征方程： f ( x ) = a x + b f(x)=ax+b f(x)=ax+b，令 f ( x ) = x f(x)=x f(x)=x，解得特征根为 x 0 x_0 x0​，则可得： a n − x 0 = c ( a n − 1 − x 0 ) = c n − 1 ( a 1 − x 0 ) a_n-x_0=c(a_{n-1}-x_0)=c^{n-1}(a_1-x_0) an​−x0​=c(an−1​−x0​)=cn−1(a1​−x0​) a n = c n − 1 ( a 1 − x 0 ) + x 0 a_n=c^{n-1}(a_1-x_0)+x_0 an​=cn−1(a1​−x0​)+x0​ 当 x 0 = a 1 x_0= a_1 x0​=a1​时， a n = x 0 a_n=x_0 an​=x0​ 当 x 0 ≠ a 1 x_0\neq a_1 x0​​=a1​时， a n = c n − 1 ( a 1 − x 0 ) + x 0 a_n=c^{n-1}(a_1-x_0)+x_0 an​=cn−1(a1​−x0​)+x0​

2、二阶线性递推： a n + 2 = p a n + 1 + q a n a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n} an+2​=pan+1​+qan​，已知 a 1 , a 2 a_1,a_2 a1​,a2​，可以联立求得A、B 特征方程： x 2 = p x + q x^2=px+q x2=px+q，设有特征根 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1​,x2​， 当 x 1 ≠ x 2 x_1\neq x_2 x1​​=x2​时， a n = A x 1 n − 1 + B x 2 n − 1 a_n=Ax_1^{n-1}+Bx_2^{n-1} an​=Ax1n−1​+Bx2n−1​ 当 x 1 = x 2 x_1=x_2 x1​=x2​时， a n = ( A + B n ) x 1 n − 1 a_n=(A+Bn)x_1^{n-1} an​=(A+Bn)x1n−1​

3、分式递推式： a n + 1 = a a n + b c a n + d a_{n+1}=\frac {aa_{n}+b}{ca_n+d} an+1​=can​+daan​+b​， r ≠ 0 , a d ≠ b c , a 1 ≠ − d c r\neq 0,ad\neq bc,a_1\neq -\frac dc r​=0,ad​=bc,a1​​=−cd​，已知 a 1 a_1 a1​的值 特征方程： x = a x + b c x + d x=\frac {ax+b}{cx+d} x=cx+dax+b​，设 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1​,x2​是两个特征根，

当 x 1 ≠ x 2 x_1\neq x_2 x1​​=x2​时， a n − x 1 a n − x 2 = a − x 1 c a − x 2 c × a n − 1 − x 1 a n − 1 − x 2 \frac {a_n-x_1}{a_n-x_2}=\frac {a-x_1c}{a-x_2c}\times \frac{a_{n-1}-x_1}{a_{n-1}-x_2} an​−x2​an​−x1​​=a−x2​ca−x1​c​×an−1​−x2​an−1​−x1​​

当 x 1 = x 2 x_1= x_2 x1​=x2​时， 1 a n − x 1 = 1 a n − 1 − x 1 + 2 c a + d \frac 1{a_n-x_1}=\frac 1{a_{n-1}-x_1}+\frac {2c}{a+d} an​−x1​1​=an−1​−x1​1​+a+d2c​

型如： a n + 1 = a n 2 + b a n + d a_{n+1}=\frac {a_n^2+b}{a_n+d} an+1​=an​+dan2​+b​ 例：已知数列 { a n a_n an​}， a n + 1 = a n 2 + 2 2 a n , a 1 = 2 a_{n+1}=\frac {a_n^2+2}{2a_n},a_1=2 an+1​=2an​an2​+2​,a1​=2，求通项

解： f ( x ) = x 2 + 2 2 x = x , x 1 = 2 , x 2 = − 2 f(x)=\frac {x^2+2}{2x}=x,x_1=\sqrt 2,x_2=-\sqrt 2 f(x)=2xx2+2​=x,x1​=2 ​,x2​=−2 ​

a n + 1 − 2 a n + 1 + 2 = ( a n − 2 a n + 2 ) 2 = ( a 1 − 2 a 1 + 2 ) 2 n − 1 \frac {a_{n+1}-2}{a_{n+1}+2}=(\frac {a_{n}-2}{a_{n}+2})^2=(\frac {a_1-2}{a_1+2})^{2^{n-1}} an+1​+2an+1​−2​=(an​+2an​−2​)2=(a1​+2a1​−2​)2n−1

解得： a n = 2 × ( 2 + 2 ) 2 n − 1 + ( 2 − 2 ) 2 n − 1 ( 2 + 2 ) 2 n − 1 − ( 2 − 2 ) 2 n − 1 a_n=\sqrt 2\times \frac{ (2+\sqrt 2)^{2^{n-1} } +(2-\sqrt 2)^{2^{n-1}} }{ (2+\sqrt 2)^{2^{n-1} } -(2-\sqrt 2)^{2^{n-1}} } an​=2 ​×(2+2 ​)2n−1−(2−2 ​)2n−1(2+2 ​)2n−1+(2−2 ​)2n−1​