\(\mathbf{{\large {\color{Red} {欢迎到学科网下载资料学习}} } }\)【高分突破系列】 高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义！ \(\mathbf{{\large {{\color{Red} {跟贵哥学数学，so \quad easy！}} }}}\)

选择性必修第二册同步拔高，难度4颗星！

若在点\(x=a\)附近的左侧\(f^{\prime} (x)0\), 则\(a\)称为函数\(y=f(x)\)的极小值点，\(f(a)\)称为函数\(y=f(x)\)的极小值；

若在点\(x=b\)附近的左侧\(f^{\prime} (x)>0\)，右侧\(f^{\prime} (x)0$时，$f^{\prime}(x)>0$； 故根据极值的定义，$0$不是函数$f(x)=x^3$的极值点，这个从函数图象也很容易知道. 又如函数$g(x)=|x|$， 当$x0$； 所以$g(x)$在$x=0$处取到极值，但在导数不存在；故选$C$.

总结 ① 若\(f(x)\)可导，且\(x_0\) 是\(y=f(x)\)的极值，则\(x_0\)是\(f^{\prime}(x)=0\)的解； ② 若\(x_0\)是\(f^{\prime}(x)=0\)的解，\(x_0\) 不一定是\(y=f(x)\)的极值点. ③ 定义很重要.  

解方程\(f^{\prime}(x)=0\)，当 \(f^{\prime}(x_0)=0\)时： (1) 如果在\(x_0\)附近的左侧\(f^{\prime} (x)>0\)，右侧\(f^{\prime}(x)0 \\ a>0 \end{array}\right.\)，解得\(00\)， 故选：\(D\)． 【点拨】 ① \(x_0\)是\(y=lnx+1+2x\)的零点，可用零点判定定理判断\(x_0\)的大致范围，这属于“隐零点问题”； ②\(x_0\)是可导函数\(f(x)\)的极值点，则满足\(f^{\prime}(x_0 )=0⇒lnx_0=-1-2x_0\)，可化简\(g(x_0 )=f(x_0 )+2x_0\)再求它最值.  

【典题2】讨论\(f(x) =x^2+(m－2)x－mlnx\)的极值点的个数. 【解析】函数的定义域为\((0 ,+∞)\)， \(f^{\prime}(x)=2 x+m-2-\dfrac{m}{x}\)\(=\dfrac{2 x^{2}+(m-2) x-m}{x}\)\(=\dfrac{(2 x+m)(x-1)}{x}\)， 令\(f^{\prime}(x)=0\)，得\(x=-\dfrac{m}{2}\)或\(x=1\)， ① 当\(-\dfrac{m}{2}>1\)，即\(m0\)， 在\((1 ,-\dfrac{m}{2})\)上，\(f'(x)0\)， \(∴f(x)\)在\((-1 ,x_1)\)上单调递增； 当\(x_10\)， \(∴f(x)\)在\((x_2 ,+∞)\)上单调递增． \(∴\)当\(f(x)\)有两个极值点时，\(a\)的取值范围为\((8 ,+∞)\)． (2)由①可知，函数\(f(x)\)有唯一的极小值点为\(x_2\)，且\(-\dfrac{3}{4}-1\) 恒成立，即\(A\)正确； 选项\(B\)， 设\(g(x)=lnx-x+1(x>0)\)， 令\(g^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}-1=0 \Rightarrow x=1\)， \(∴g(x)\)在\((0 ,1)\)上递增，在\((1 ,+∞)\)上递减， \(∴g(x)≤g(1)=0\)， 即\(lnx≤x-1\)，即\(B\)错误； 选项\(C\)， 设\(h(x)=e^x-x-1\)，则\(h^{\prime} (x)=e^x-1\) 令\(h'(x)=0\)，解得\(x=0\)， 当\(x0\)，\(h(x)\)单调递增． \(∴h(x)_{min}=h(0)=0\)， 即\(h(x)≥0\)在\(R\)上恒成立， \(∴e^x≥x+1\)恒成立，即\(C\)正确； 选项\(D\)， 设\(t(x)=\cos x-1+\dfrac{1}{2} x^{2}\)，则\(t^{\prime}(x)=-\sin x+x\) 令\(m(x)=t^{\prime}(x)=-\sin x+x\)， 则\(m^{\prime}(x)=-cosx+1≥0\)恒成立， 即\(m(x)\)在\(R\)上单调递增，又\(m(0)=0\)， \(∴\)当\(x0\)，\(t(x)\)单调递增． \(∴t(x)_{min}=t(0)=0\), 即\(t(x)≥0\)在\(R\)上恒成立， \(∴\cos x \geq 1-\dfrac{1}{2} x^{2}\)恒成立，即\(D\)正确． 故选：\(ACD\)． 【点拨】 ① 通过构造函数证明不等式，选项\(D\)中运用了二次求导； ② 研究函数的最值，其实最终还是回归到函数单调性的分析，注意结合导函数的“穿线图”与原函数的“趋势图”进行分析函数最值； ③ 熟记\(e^x≥x+1\)，\(lnx≤x-1\)，以后你们会经常见到它们. 比如\(\ln x \leq x-1 \stackrel{\text { 令 } x=\frac{1}{x}}{\Longrightarrow} \ln x \geq 1-\dfrac{1}{x}\)\(\stackrel{\text { 令 } x=x+1}{\Longrightarrow} \ln (x+1) \geq \dfrac{x}{x+1}(x>-1)\)，这就容易得知\(A\)正确.  

【典题2】若函数\(f(x)=\dfrac{2}{3} x^{3}-a x^{2}(a0,2x-1>0，则导函数y=f'(x)的正负性等价于}}\) \({\color{Red}{ y=ax-1在[1 ,e]上的正负性，比较\dfrac{1}{a}与1、e的大小进行分类讨论)}}\) ①当\(00\)，\(f(x)\)在\([1 ,e]\)上单调递增， 所以\(f(x)\)在\([1 ,e]\)上的最小值是\(f(1)=-2\)； ②当\(1