正定二次函数求最小值

正定二次函数是指二次函数的二次项系数大于

0

，也就是开口向上

的二次函数。在数学中，我们经常需要求解二次函数的最小值，这

个最小值通常对应着函数的顶点。因此，本文将介绍如何利用正定

二次函数求解最小值。

我们需要了解正定二次函数的一般形式：

$f(x) = ax^2 + bx + c$

，其

中

$a>0$

。这个函数的图像是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为

$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$

。因此，我们可以通过求解顶

点坐标来得到函数的最小值。

具体来说，我们可以利用求导的方法来求解顶点坐标。对于正定二

次函数

$f(x) = ax^2 + bx + c$

，它的导数为

$f'(x) = 2ax + b$

。当导数

为

0

时，函数的斜率为

0

，也就是函数的切线与

$x$

轴平行，此时函

数的极值点就是顶点。因此，我们可以通过求解

$f'(x) 

= 0$

来得到顶

点的横坐标

$x_0 

= 

-\frac{b}{2a}$

。将

$x_0$

代入原函数

$f(x)$

中，就

可以得到函数的最小值

$y_0 = f(x_0) = \frac{4ac-b^2}{4a}$

。

需要注意的是，当

$a