[正定函数] 若实函数 V ( x ) V(x) V(x) 对任意 n 维非零向量 x x x 都有 V ( x ) > 0 V(x)>0 V(x)>0，当且仅当 x = 0 x=0 x=0 时， V ( x ) = 0 V(x)=0 V(x)=0，则称函数 V ( x ) V(x) V(x) 为正定函数。

[半正定函数] 如果 x ≠ 0 , V ( x ) ≥ 0 x \neq 0,V(x) \ge 0 x​=0,V(x)≥0，则称 V ( x ) V(x) V(x) 为半正定函数。 [负定函数] 如果 x ≠ 0 , V ( x ) < 0 x \neq 0, V(x) < 0 x​=0,V(x) 0 {x^T}Ax > 0 xTAx>0，则矩阵 A A A 是正定矩阵，函数 x T A x {x^T}Ax xTAx 称为矩阵 A A A 对应的正定二次型。

半正定、负定和半负定以此类推，不再赘述。

例如：

A = [ 1 0 0 1 ] A = \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right ] A=[10​01​]

V ( x ) = [ x 1 x 2 ] A [ x 1 x 2 ] = x 1 2 + x 2 2 (1.1) V(x) = \left [ \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \end{array} \right ] A \left [ \begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \end{array} \right ] = x_1^2 + x_2^2 \tag{1.1} V(x)=[x1​​x2​​]A[x1​x2​​]=x12​+x22​(1.1)

就是一个正定二次型。因为当且仅当 x = [ x 1 , x 2 ] T = [ 0 , 0 ] T x=[x_1, x_2]^T = [0, 0]^T x=[x1​,x2​]T=[0,0]T 时， V ( x ) = 0 V(x)=0 V(x)=0，否则 V ( x ) > 0 V(x)>0 V(x)>0，满足定义。

而

A = [ 1 − 1 − 1 1 ] A = \left [ \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right ] A=[1−1​−11​]

V ( x ) = ( x 1 − x 2 ) 2 (2.2) V(x) = (x_1 - x_2)^2 \tag{2.2} V(x)=(x1​−x2​)2(2.2)

是一个半正定函数。因为 V ( x ) ≥ 0 V(x) \ge 0 V(x)≥0，当 x 1 = x 2 x_1 = x_2 x1​=x2​ 时， V ( x ) = 0 V(x) = 0 V(x)=0。

正定二次型有个很好的性质——有唯一的全局最小值。

以二阶矩阵为例，分别绘制正定 A 1 A_1 A1​、半正定 A 2 A_2 A2​、负定 A 3 A_3 A3​、不定 A 4 A_4 A4​二次型的图像，对应的矩阵分别取：

A 1 = [ 1 0 0 1 ] A 2 = [ 1 − 1 − 1 1 ] A 3 = [ − 1 0 0 − 1 ] A 4 = [ 1 0 0 − 1 ] A_1 = \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right ] \quad A_2 = \left [ \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right ] \quad A_3 = \left [ \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right ] \quad A_4 = \left [ \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right ] A1​=[10​01​]A2​=[1−1​−11​]A3​=[−10​0−1​]A4​=[10​0−1​]

可见，二阶正定矩阵对应的二次型图像是一个开口朝上旋转抛物面，在原点处有唯一最小值。有唯一最小值是一个很好的性质，因为最优化问题往往就是计算一个最小值。

正定函数的一个应用就是著名的Lyapunov函数，常常希望找到正定的 V ( x ) V(x) V(x) 和 负定的 V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)，这样原系统就是稳定的。比如状态空间方程：

x ˙ = − x (2.3) \dot x = -x \tag{2.3} x˙=−x(2.3)

其中， x x x 为系统的一个状态。选择 V ( x ) = 1 2 x 2 (2.4) V(x) = \frac{1}{2}x^2 \tag{2.4} V(x)=21​x2(2.4)

则：

V ˙ ( x ) = x x ˙ = − x 2 (2.5) \dot V(x) = x\dot x = -x^2 \tag{2.5} V˙(x)=xx˙=−x2(2.5)

V ( x ) V(x) V(x) 正定， V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x) 负定，式(2.3) 表示的系统是稳定的。再看看式(2.1)，当 x > 0 x>0 x>0 时， x ˙ < 0 \dot x 0 V(x)>0 V(x)>0， V ˙ ( x ) < 0 \dot V(x)