求解一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0 的思路，将该方程转化为 ( x − x ′ ) 2 = K (x-x')^2=K (x−x′)2=K，得到 x = ± K + x ′ x = \pm\sqrt{K}+x' x=±K ​+x′

所以有如下转化过程： a x 2 + b x + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0 x 2 + b a x = − c a x 2 + b a x + b 2 4 a 2 = b 2 4 a 2 − c a ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 ax^2+bx+c=0 \\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \\ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \\ x^2 + \frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ ax2+bx+c=0x2+ab​x+ac​=0x2+ab​x=−ac​x2+ab​x+4a2b2​=4a2b2​−ac​(x+2ab​)2=4a2b2−4ac​ 由此可以得到， K = b 2 − 4 a c 4 a 2 x ′ = − b 2 a K=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ x' = -\frac{b}{2a} K=4a2b2−4ac​x′=−2ab​ 所以得到求根公式： x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x=2a−b±b2−4ac ​​

当 b 2 − 4 a c < 0 b^2-4ac < 0 b2−4ac 0 \sqrt{-a} = \sqrt{a}i,a>0 −a ​=a ​i,a>0 可知， b 2 − 4 a c = 4 a c − b 2 i \sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{4ac-b^2}i b2−4ac ​=4ac−b2 ​i

− b ± b 2 − 4 a c 2 a , b 2 − 4 a c > = 0 − b ± 4 a c − b 2 i 2 a , b 2 − 4 a c < 0 \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},b^2-4ac>=0 \\ \frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}i}{2a},b^2-4ac=02a−b±4ac−b2 ​i​,b2−4ac