一元二次方程的判别式、求根公式、韦达定理都是怎么来的? #一元二次方程详解# |
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我们在初中的时候都学了一元二次方程,那么判别式Δ、求根公式、韦达定理都是怎么来的呢? 一元二次方程的求根公式推导一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0)。我们可以通过配方法;来求方程的根。 首先,将方程两边都同时除以首项系数a,得: x²+b/ax+c/a=0 这个c/a很麻烦,把它移到右边: x²+b/ax=-c/a 我们知道二项式定理: (A+B)²=A²+B²+2AB 我们可以把 x²+b/ax=-c/a改成A²+B²+2AB的形式,也就是把x当成A,b/ax当成2AB,到时候在两边都加上B²: 这个时候,我们可以根据二项式定理把左边进一步转化: 等号右边可以再化简: 两边同时开方: 进一步化简: 再化简: 开方会得到一个正根和负根,所以是±: 这样我们就得到了一元二次方程的求根公式。 一元二次方程判别式推导现在,我们已经得到了求根公式。方程的两个根的唯一区别就是后面的根号下b²-4ac,一个是+,一个是-。那么我们要判断这两个根的情况,就要令Δ=b²-4ac来进行比较。 当Δ>0的时候,即b²-4ac>0,那么根号下b²-4ac也大于0,这两个数差了两个根号下b²-4ac,差了两个大于0的数,那么这两个数是不等的;又因为这个方程的系数都是实数,所以我们得到: 当Δ>0的时候,方程有两个不等的实数根。 当Δ=0的时候,即b²-4ac=0,那么根号下b²-4ac也等于0,差了两个等于0的数,那么这两个数就是相等的;又因为这个方程的系数都是实数,所以我们得到: 当Δ=0的时候,方程有两个相等的实数根。 当Δ |
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