《九章算术》 成书于西汉末到东汉初之间， 约公元一世纪前后，《九章算术》 的内容十分丰富， 全书采用问题集的形式， 收有 246 个与生产、 生活实践有联系的应用问题， 其中每道题有问(题目)、 答(答案)、 术(解题的步骤， 但没有证明)， 有的是一题一术， 有的是多题一术或一题多术。 这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、 粟米、 衰分、 少广、 商功、 均输、盈不足、 方程及勾股九章如下表所示。 原作有插图， 今传本已只剩下正文了。

《九章算术》 的作者不详。 很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、 补充而成的集体创作结晶。 由于二千年来经过辗转手抄、 刻印， 难免会出现差错和遗漏， 加上《九章算术》 文字简略有些内容不易理解， 因此历史上有过多次校正和注释， 其中重要的有：

《九章算术》 的主要内容， 可分成算术、 代数和几何三部分。

一、 算术部分

1． 分数

《九章算术》 中有比较完整的分数计算方法， 包括四则运算， 通分、 约分、 化带分数为假分数(我国古代称为通分内子， “内” 读为纳)等等。 其步骤与方法大体与现代的雷同。分数加减运算，《九章算术》 已明确提出先通分， 使两分数的分母相同， 然后进行加减。加法的步骤是“母互乘子， 并以为实， 母相乘为法， 实如法而一” 这里“实” 是分子。“法”是分母，“实如法而一” 也就是用法去除实， 进行除法运算，《九章算术》 还注意到两点： 其一是运算结果如出现“不满法者， 以法命之”。 就是分子小于分母时便以分数形式保留。 其二是“其母同者， 直相从之”， 就是分母相同的分数进行加减， 运算时不必通分， 使分子直接加减即可。关于分数乘法，《九章算术》 中提出的步骤是“母相乘为法， 子相乘为实， 实如法而一”。

《 九章算术 》对分数除法虽然没有提出一般法则 ， 但算法也很清楚 。

2． 最大公约数与最小公倍数

《九章算术》 中还有求最大公约数和约分的方法。 求最大公约数的方法称为“更相减损”法， 其具体步骤是“可半者半之， 不可半者， 副置分母子之数， 以少减多， 更相减损， 求其等也。 以等数约之。” 这里所说的“等数” 就是我们现在的最大公约数。 可半者是指分子分母都是偶数， 可以折半的先把它们折半， 即可先约去 2。 不都是偶数了， 则另外摆(即副置)分子分母算筹进行计算， 从大数中减去小数， 辗转相减， 减到余数和减数相等， 即得等数。如方田章第六题：“又有九十一分之四十九， 问约之得几何”。 将更相减损这一运算写成现代的图式就是

法实质上是辗转相减法。 辗转相减法与欧几里得的辗转相除法在步骤上虽然略有不同， 但在理论上却是一致的。

《九章算术》 在分数的加减运算中， 已知用最小公倍数作公分母， 例如少广章第六题相当于分数

的运算， 这个公分母 420 正是 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 的最小公倍数。（2*5*6*7）

3． 比例算法

在《九章算术》 的第二、 三、 六等章内， 广泛地使用了各种比例解应用问题。 粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法： 粟率五十， 粝米三十， 粺米二十七，糳米二十四， ……” (图 1－23)这是说： 谷子五斗去皮可得糙米三斗， 又可舂得九折米二斗七升， 或八拆米二斗四升， ……。

例如， 粟米章第一题： “今有粟米一斗， 欲为粝米， 问得几何”。 它的解法是： “以所有数乘所求率为实， 以所有率为法， 实如法而一”。 用现代的方式来表达， 即为公式：

或所求数∶ 所有数=所求率∶ 所有率。

这个题是欲将粟米换成粝米， 其中“粟米一斗(十升)” 是“所有数”， 粝米数即为“所求数”， 按规定“粟率五十” 为“所有率”， 粝米 30 为“所求率”。 于是得所求数为 10×30÷50=6(升)， 这就是说一斗谷子可以砻得六升糙米。 因而可以根据物与物的比率， 再由今有数(所有数)即可求得未知数据(所求数)， 因为这类应用问题大都依据“今有” 的数据， 问所求的数， 因此我国古代数学家刘徽就用“今有术” 作为这类比例问题解法的专用名词。

在《九章算术》 中， 今有术应用特别广泛， 是一种普遍的解题方法。 与比率有关的其他一些算法一般都是在今有术的基础上演化而来的。

《九章算术》 中另一个常用的比率算法是衰分术， 所谓“衰分” 就是差分。 比例分配的意思， 它是古代处理配分问题的一般方法， “衰分术曰， 各置列衰(即所配的比率)， 副并(得所配比率的和)为法， 以所分乘未并者各自为实， 实如法而一”， 刘徽“注” 说： “列衰各为所求率， 副并(所得的和)为所有率， 所分为所有数”， 用“今有术” 计算， 就可以得到各所求数。 例如衰分章第二题： “今有牛、 马、 羊食人苗， 苗主责之粟五斗， 羊主曰， 我羊食半马(所食)， 马主曰， 我马食半牛(所食)， 今欲衰偿之， 问各几何”， 依照羊主人、 马主人的话，牛、 马、 羊所食粟相互之比率是 4∶ 2∶ 1， 就用 4、 2、 1 各为所求率， 4＋2＋1=7。

《九章算术》 中有相当复杂的比例问题， 例如均输章中， 既有按正比“列衰” 也有按反比“列衰” 的比例分配问题等等。 因此《九章算术》 已包括了现代算术中的全部比例的内容，形成了一个完整的体系。

印度于五 、六世纪间有“ 三率法 ” 的算法 。 所谓三率法相当于

因此，三率法实质上就是我们的今有术。 印度三率法传入阿拉伯国家， 再传到西欧各国， 于是欧洲在更晚的时期也有类似的算法， 欧洲商人很重视这种算法， 称它为“金法”。 从《九章算术》 的“今有术” 逐渐演变到现在教科书中的比例， 已有二千年的发展历史。

4． 盈亏问题

《九章算术》 第七章“盈不足” 专讲盈亏问题及其解法其中第一题： “今有(人)共买物，(每)人出八(钱)， 盈(余)三钱； 人出七(钱)， 不足四(钱)， 问人数、 物价各几何”， “答曰： 七人， 物价 53(钱)。”“盈不足术曰： 置所出率， 盈、 不足各居其下。 令维乘(即交错相乘)所出率， 并以为实， 并盈， 不足为法， 实如法而一……置所出率， 以少减多， 余， 以约法、 实。实为物价， 法为人数”。 如以算筹演算大致如图 1－24 所示。

用现代的符号来表示： 设每人出 a1 钱， 盈 b1 钱； 每人出 a2 钱， 不足 b2 钱， 求物价 u和人数 v。 依据术文得下列二公式：

当然我们还可以算出每人应该分摊的钱数

因此上述的盈不足术实际上包含着三个公式。

《九章算术》 的盈不足章的最前四个问题是正规的盈亏问题。 而第五题是“两盈” 问题，第六题是“两不足” 问题则分子就得相减了， 都是“以少减多” 来进行的， 第七题是“盈、适足”， 第八题是“不足， 适足问题。 它们的解法也可以在盈不足术的基础上分别提出适当的公式。

盈不足章的第 9 到第 20 题， 是一般的算术应用题， 有些问题还相当难， 初学者不易解答。 如果通过两次假设(分别各假设一个答数)然后分别验算其盈余和不足的数量， 这样任何算术问题都可以改造成为一个盈亏问题来解。因此盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面的创造， 它在我国古代算法中占有相当重要的地位。 盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家， 受到特别重视， 被称为“契丹算法”， 后来又传入欧洲， 中世纪时期“双设法” 曾长期统治了他们的数学王国。

二、 代数部分

《九章算术》 中的代数内容同样很丰富， 具有当时世界的先进水平。

1． 开平方和开立方

《九章算术》 中讲了开平方、 开立方的方法， 而且计算步骤和现在的基本一样。 所不同的是古代用筹算进行演算， 现以少广章第 12 题为例， 说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步。 问为方几何”。“答曰： 二百三十五步”。 这里所说的步是我国古代的长度单位。

“开方(是指开平方， 由正方形面积求其一边之长。 )术曰： 置积为实(即指筹算中把被开方数放置于第二行， 称为实)借一算(指借用一算筹放置于最后一行， 如图 1－25(1)所示用以定位)。 步之(指所借的算筹一步一步移动)超一等(指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等， 这与现代笔算开平方中分节相当如图 1－25(2)所示)。 议所得(指议得初商， 由于实的万位数字是 5， 而且 22＜5＜32， 议得初商为 2， 而借算在万位，因此应在第一行置初商 2 于百位， 如图 1－25(3)所示)。 以一乘所借一算为法(指以初商 2 乘所借算一次为 20000， 置于“实” 下为“法”， 如图 1－25(4)所示)而以除(指以初商 2 乘“法”20000 得 40000， 由“实” 减去得： 55225-40000=15225， 如图 1－25(5)所示)除已， 倍法为定法， 其复除， 折法而下(指将“法” 加倍， 向右移一位， 得 4000 为“定法” 因为现在要求平方根的十位数字， 需要把“借算” 移至百位， 如图 1－25(6)所示)。 复置借算步之如初，以复议一乘之， 所得副， 以加定法， 以除(这一段是指： 要求平方根的十位数字， 需置借算于百位。 因“实” 的千位数字为 15， 且 4×3＜15＜4×4， 于是再议得次商为 3。 置 3 于商的十位。 以次商 3 乘借算得 3×100=300， 与定法相加为 4000＋300=4300。 再乘以次商， 则得： 3×4300=12900， 由“实” 减去得： 15225-12900=2325。 如图 1－25(7)所示， 以所得副从定法， 复除折下如前(这一段是指演算如前， 即再以 300×1+4300=4600 向右移一位， 得460， 是第三位方根的定法， 再把借算移到个位， 如图 1－25(8)所示； 又议得三商应为 5，再置 5 于商的个位如图 1－25(9)所示， 以 5＋460=465， 再乘以三商 5， 得 465×5=2325 经计算恰尽如图 1－25(10)所示， 因此得平方根为 235。 )

上述由图 1－25(1)～(10)是按算筹进行演算的， 看起来似乎很繁琐， 实际上步骤十分清楚， 易于操作。 它的开平方原理与现代开平方原理相同。 其中“借算” 的右移、 左移在现代的观点下可以理解为一次变换和代换。《九章算术》 时代并没有理解到变换和代换， 但是这对以后宋、 元时期高次方程的解法是有深远影响的。 至于开立方， 因篇幅的关系这里从略。

2． 二次方程问题

《九章算术》 勾股章第二十题： “今有邑方不知大小， 各中开门， 出北门二十步有木，出南门十四步， 折而西行一千七百七十五步见木， 问邑方几何。”“答曰： 二百五十步”。已知： 如图 1－26 所示， CD=20 步， EB=14 步， BF=1775 步， 求 CE。

按题意， 得

或 EC(CE＋CD＋EB)＝2CD· BF。

设 x=EC。

经整理， 得 x2＋34x=71000。

这是一个解数字二次方程的问题。 这种二次方程有一个正系数的一次项在二次项后面，我国古代称这个一次项为“从法”。《九章算术》 少广章开平方术虽然专为开整平方而建立，但是也可以利用来解一般的二次方程问题。 解这种二次方程只需开带“从法” 的平方， 或简称为“开带从平方”。 从而即可求得方程的正根。 因此上述勾股章第 20 题的解法为： “术曰以出北门步数乘西行步数倍之， (2CD· BF=2×20×1775=71000)为实， 并出南门步数为从法(20+14=34)， 开方除之， 即邑方。” 现列出开带从平方的筹算步骤如图 1－27 所示。 (注： 为了不易搞错， 空位补上 0)

如果我们将上述开带从平方的演算过程与 55225 的开平方的演算过程作一比较的话， 我们就可以发现： 在 55225 开平方过程中， 议平方根的第二位和第三位数字时， 所列的算式是一个有“从法” 的开方式相当于我们分别用开带从平方的方法解二次方程：

不过要注意的是前者的正根是 10x2=35， 而后者的正根是 x3=5。

3． 多元一次方程组及其解法

《九章算术》 方程章中所谓“方程” 是专指多元一次方程组而言， 与现在“方程” 的含义并不相同。《九章算术》 中多元一次方程组的解法， 是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵” (所以称之谓“方程” )。 消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换。

方程章第一题： “今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉， 下禾一秉， 实(指谷子)三十九斗； 上禾二秉， 中禾三秉， 下禾一秉， 实三十四斗； 上禾一秉， 中禾二秉， 下禾三秉，实二十六斗。 问上、 中、 下禾实一秉各几何”， 这一题若按现代的记法。 设 x、 y、 z 依次为上、 中、 下禾各一秉的谷子数， 则上述问题是求解三元一次方程组：

《九章算术》 用算筹演算：

“方程术曰， 置上禾三秉， 中禾二秉， 下禾一秉， 实三十九斗， 于右方。 中、 左行列如右方(图 1－28)以右行上禾徧乘(即遍乘)中行而以直除(这里“除” 是减， “直除” 即连续相减。 )……(引文下略)”。 现将遍乘直除法解方程组的过程， 按算筹演算如图 1－29 所示：

这题的答案《 九章算术 》方程章第一题“答曰 ：上禾一秉 ，九斗四

《九章算术》方程章中共计18个题， 其中二元的 8 题，三元的6题，四元、五元的各2 题都用上述的演算法解决， 直除法是我国古代解方程组的最早的方法。

多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪(约 628 年)在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是 16 世纪中(1559 年)的法国数学家布丢(Buteo)。 至于线性方程组的一般理论直到 18 世纪(1779 年)才由法国数学家别朱(E。 Be－zout)建立。 可见《九章算术》 中的方程术， 不但是中国古代数学中的伟大成就， 在世界数学史上， 也是一份值得我们自豪的宝贵遗产。

4． 正负数

由于《九章算术》 在用直除法解一次方程组过程中， 不可避免地要出现正负数的问题，于是在方程章第三题中明确提出了正负术。 刘徽在该术的注文里实质上给出了正、 负数的定义：“两算得失相反， 要令'正’、'负’ 以名之”。 并在计算工具即算筹上加以区别“正算赤，负算黑， 否则以邪正为异”。 这就是规定正数用红色算筹， 负数用黑色算筹。 如果只有同色算筹的话， 则遇到正数将筹正放， 负数时邪(同斜)放。 宋代以后出现笔算也相应地用红、 黑色数码字以区别正、 负数， 或在个位数上记斜划以表示负数， 如

关于正、 负数的加减运算法则， “正负术曰： 同名相除， 异名相益， 正无入负之， 负无入正之。 其异名相除， 同名相益， 正无入正之， 负无人负之”。 这里所说的“同名”、“异名”分别相当于现在所说的同号、 异号。“相益”、“相除” 是指二数相加、 相减。 术文前四句是减法运算法则：

(1)如果被减数绝对值大于减数绝对值， 即 a＞b≥0，

则同名相除： (±a)-(±b)=±(a-b)，

异名相益： (±a)-( b)=±(a＋b)。

(2)如果被减数绝对值小于减数绝对值， 即 b＞a≥0。

①如果两数皆正

则 a-b=a-[a＋(b-a)]=-(b-a)。

中间一式的 a 和 a 对消， 而(b-a)无可对消， 则改“正” 为“负”， 即“正无入负之”。“无入” 就是无对， 也就是无可对消(或不够减或对方为零)。

②如果两数皆负

则(-a)-(-b)=－a-[(-a)-(b-a)］ =+(b-a)。 在中间的式子里(-a)和(-a)对消， 而-(b-a)无可对消，则改“负” 为“正” 所以说“负无入正之”。

③如果两数一正一负。 则仍同(1)的异名相益。

术文的后四句是指正负数加法运算法则。

(1)同号两数相加， 即同名相益， 其和的绝对值等于两数绝对值和。

如果 a＞0， b＞0，

则 a+b=a＋b， (-a)＋(-b)=-(a+b)

(2)异号两数相加， 实为相减， 即异名相除。 如果正数的绝对值较大， 其和为正， 即“正无入正之”。 如果负数的绝对值较大， 其和为负， 即“负无入负之”。 用符号表示为

①如果 a＞b≥0，

则 a+(-b)=［b＋(a-b)]＋(-b)=a-b，

或 (-a)＋b=［(-b)－(a-b)]+b=-(a-b)。

②如果 b＞a≥0，

则 a＋(-b)=a＋[(-a)-(b-a)]=-(b-a)，

或 (-a)＋b=(-a)+［a＋(b-a)]=b-a。

关于正负数的乘除法则， 在《九章算术》 时代或许会遇到有关正负数的乘除运算。 可惜书中并未论及， 直到元代朱世杰于《算学启蒙》 (1299 年)中才有明确的记载： “同名相乘为正， 异名相乘为负”，“同名相除所得为正， 异名相除所得为负”， 因此至迟于 13 世纪末我国对有理数四则运算法则已经全面作了总结。 至于正负数概念的引入， 正负数加减运算法则的形成的历史记录， 我国更是遥遥领先。 国外首先承认负数的是七世纪印度数学家婆罗门岌多(约 598-？ )欧洲到 16 世纪才承认负数。

三、 几何部分

《九章算术》 总结了生产、 生活实践中大量的几何知识， 在方田、 商功和勾股章中提出了很多面积、 体积的计算公式和勾股定理的应用， 现分别介绍如下

1． 面积计算

《九章算术》 方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。

《九章算术》 方田章第一题“今有田广十五步， 从(音纵 zong)十六步。 问为田几何。”“答曰： 一亩”。 这里“广” 就是宽， “从” 即纵， 指其长度， “方田术曰： 广从步数相乘得积步， (得积步就是得到乘积的平方步数)以亩法二百四十步(实质应为积步)除之， 即亩数。百亩为一顷。” 当时称长方形为方田或直田。 称三角形为圭田， 面积公式为“术曰： 半广以乘正从”。 这里广是指三角形的底边， 正从是指底边上的高， 刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者， 以盈补虚， 为直田也。”“亦可以半正从以乘广” (图 1－30)。 盈是多余， 虚乃不足。“以盈补虚” 就是以多余部分填补不足的部分， 这就是我国古代数学推导平面图形面积公式所用的传统的“出入相补” 的方法， 由上图“以盈补虚” 变圭田为与之等积的直田， 于是得到了圭田的面积计算公式。

方田章第二十七、 二十八题把直角梯形称为“邪田” (即斜田)它的面积公式是： “术曰：并两邪(即两斜， 应理解为梯形两底)而半之， 以乘正从……， 又可半正从……以乘并。” 刘徽在注中说明他的证法仍是“出入相补”法。 在方田章第二十九、 三十题把一般梯形称为“箕田”， 上、 下底分别称为“舌”、“踵”， 面积公式是： “术曰： 并踵舌而半之， 以乘正从”。

至于圆面积， 在《九章算术》 方田章第三十一、 三十二题中， 它的面积计算公式为：“半周半径相乘得积步”。 这里“周” 是圆周长，“径” 是指直径。 这个圆面积计算公式是正确的。只是当时取径一周三(即π ≈3)。 于是由此计算所得的圆面积就不够精密。

除了上述面积计算公式以外， 《九章算术》 中还有近似计算公式， 方田章第三十六题中有弧田(指现在的弓形)面积计算公式： “术曰： 以弦乘矢， 矢又自乘， 并之， 二而一” (图 1－ 31) 。 用 现 代 的 记 号 表

综上所述， 可以认为《九章算术》 时代关于常见的平面图形(直线形与圆)面积计算已经大都可以转化为运用上述公式来进行计算了。

2． 体积计算

《九章算术》 商功章收集的都是一些有关体积计算的问题。 但是商功章并没有论述长方体或正方体的体积算法。 看来《九章算术》 是在长方体或正方体体积计算公式： V=abh 的基础上来计算其他立体图形体积的。

《九章算术》 商功章提到城、 垣、 堤、 沟、 堑、 渠， 因其功用不同因而名称各异， 其实质都是正截面为等腰梯形的直棱柱， 他们的体积计算方法： “术曰： 并上、 下广而半之， 以高若深乘之， 又以袤乘之， 即积尺”。 这里上、 下广指横截面的上、 下底(a， b)高或深(h)，袤是指城垣……的长(l)。 因此城、 垣…的体积计算术公式

刘徽在注释中把对于平面图形的出入相补原理推广应用到空间图形， 成为“损广补狭”以证明几何体体积公式。

刘徽还用棋验法来推导比较复杂的几何体体积计算公式。 所谓棋验法， “棋” 是指某些几何体模型即用几何体模型验证的方法， 例如长方体本身就是“棋” [图 1－32(1)]斜解一个长方体， 得两个两底面为直角三角形的直三棱柱， 我国古代称为“堑堵” [图 1－32(2)]， 所以堑堵的体积是长方体体积的二分之一。

再解开右后边的堑堵[图 1－32(3)]。 得一个底面为长方形而有一棱和底面垂直的四棱锥(古代称之为“阳马”)和一个底面为直角三角形而有一棱和底面垂直的三棱锥(古代称之为“鳖臑” (臑音闹)[图 1－32(4)]这个阳马又可以对分为两个“鳖臑” [图 1－32(5)]， 如果原长方体为正方体的话， 则极容易看出： 由一个堑堵分解出来的三个鳖臑是等积的。 刘徽可以证明在长方体的情况下， 由一个堑堵分解出来的三个鳖臑仍然是等积的。 于是阳马体积应是长方体体积的三分之一。

这样我们可以把正四棱锥(古代称为“方锥” )分解为四个阳马， 因此方锥体积为

正四棱台(古代称为“方亭” )可分解为一个正四棱柱， 四个堑堵和四个阳马， 因此

《九章算术》 商功章还有圆锥、 圆台(古代称“圆亭” )的体积计算公式。 甚至对三个侧面是等腰梯形， 其他两面为勾股形的五面体(古代称“羡除” )[图 1－33(1)]， 上、 下底为矩形的拟柱体(古代称“刍童” )以及上底为一线段， 下底为一矩形的拟柱体(古代称“刍甍” )(甍音梦)［图 1－33(2)］ 等都可以计算其体积。

3． 勾股定理及其应用

《九章算术》 以前虽然已经有了勾股定理， 但主要是在天文方面的应用。 在《九章算术》中已经用得很广， 而且在勾股章一开始就先讲了勾股定理及其变形， 前三个题的“勾股术曰：勾股各自乘， 并而开方除之， 即弦。 又股自乘， 以减弦自乘， 其余开方除之， 即勾。 又勾自乘， 以减弦自乘， 其余开方除之， 即股”。

如果以 a、 b、 c 各表示直角三角形的勾、 股、 弦。 则上述三句话即相当于：

因此， 勾股术可以理解为已知直角三角形两边推求第三边的方法。

刘徽在注文中， 曾对勾股定理用出入相补原理来论证这一定理， 可惜所绘的弦图早已散失， 没有能够和注文一起留传下来。

《九章算术》 勾股章除了勾股定理及其变形的三个题以及涉及勾股容方、 容圆各一题以外， 其余十九个题全是应用问题。

例如勾股章第六题“今有池方一， 葭(音 jia， 一种芦苇类植物)生其中央， 出水一尺。 引葭赴岸， 适与岸齐。 问水深， 葭长各几何。”“答曰： 水深一丈二尺； 葭长一丈三尺。”

术曰： 半池方自乘， 以出水一尺自乘， 减之， 余， 倍出水除之， 即得水深、 加出水数，得葭长”。

如图 1－34 所示， 设池方为 2a， 水深为 b， 葭长为 c，

现代解法： 设水深为 x 尺， 则葭长为 x+1，

按题意由勾股定理， 得 52+x2=(x+1)2。

整理， 得 2x=52-12， ∴ x=12。

两种解法相比较， 可见实质解法步骤完全一致。

印度古代有著名的“莲花问题”， 其中除了只有数据与《九章算术》 的“葭生中央问题”不同以外， 其余完全相同。 但要比中国《九章算术》 晚了一千多年。

我国古代数学巨著《九章算术》 流传至今已达两千余年之久， 不仅指导着我国数学的发展， 而且早已流传到世界各地， 翻译成日、 英、 俄、 德等多种文字， 对世界数学的发展也有不可估量的巨大贡献和影响。 把《九章算术》 与西方最早的一本数学名著欧几里得的《几何原本》 相对照， 就可以发现从形式到内容都各有特色和所长， 形成东、 西方数学的不同风格。

《几何原本》 以形式逻辑方法把全部内容贯穿起来， 而《九章算术》 则按问题的性质和解法把全部内容分类编排。《几何原本》 中极少提及应用问题， 而《九章算术》 则是解应用问题为主，《几何原本》 以几何为主， 略有一点算术内容， 而《九章算术》 则包含了算术、 代数、几何等我国当时数学的全部内容。 其中尤其是代数无可争辩地是中国所创。 在 16 世纪以前基本上是中国一手包办了的。 因此， 完全可以说《九章算术》 与《几何原本》 是世界数学史上东西辉映的两本不朽的传世名著。 也是现代数学的两大主要源泉。