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2021-2022学年浙教新版九年级上学期数学期末练习试卷一．选择题1．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（　　）A．6.4m B．7m C．8m D．9m2．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　）A．2 B． C．3 D．3．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB交于点F，以下结论：①若△OAD与△OCE的面积和为2，则k＝2；②若B点坐标为（4，2），AD：DB＝1：3．则k＝1；③图中一定有＝；④若点F是OB的中点，且k＝6，则四边形ODBE的面积为18．其中一定正确个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB边上、DF∥AB，交AC边于点H，EF∥BC，交AC边于点G．则下列结论中错误的是（　　）A． B． C． D．5．如图，在△ABC中，＝，则下列等式不成立的是（　　）A．∠ADE＝∠ACBB．∠AED＝∠ABCC．＝D．＝6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，则S△CNO：S△CND＝（　　）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．3：47．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在白色区域的概率等于（　　）A． B． C． D．无法确定二．填空题8．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　 　．9．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①AB＝BC；②AB⊥BC；③AD＝BC；④AC⊥BD；⑤AC＝BD，从中随机抽取一张卡片，能判定 ABCD是菱形的概率为 　 　．10．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）的对称轴为直线x＝，该抛物线交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，过点M（0，2）且平行于x轴的直线交该抛物线于C、D两点（点C在点D右边），连接AC．若点B关于直线AC的对称点B'恰好落在线段MC上，则CD的长为　 　．11．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图形经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＜0；②a＜b＜﹣2a；③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正确结论的序号是　 　．12．阅读材料：一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两个根是﹣2，3，画出二次函数y＝x2﹣x﹣6的图象如图，位于x轴上方的图象上点的纵坐标y满足y＞0，所以不等式y＜0点的横坐标的取值范围是﹣2＜x＜3，则不等式x2﹣x﹣6＜0解是﹣2＜x＜3．仿照例子，运用上面的方法解不等式﹣x2+4x﹣3＞0的解是　 　．13．已知点A（﹣3，m）在抛物线y＝x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为 　 　．14．写出一个二次函数，使得它有最大值，这个二次函数的解析式可以是 　 　．15．如图，抛物线经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC、DB，则△BCD的面积的最大值是　 　．16．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为　 　．17．如图，抛物线y＝﹣x﹣2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF．在线段BC上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似，则点P的坐标为　 　．18．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y＝x2+（a﹣3）x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是　 　．19．如图1，E是等边△ABC的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边△AEF，连接CF．已知△ECF的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（P为抛物线的顶点）．（1）当△ECF的面积最大时，∠FEC的大小为 　 　．（2）等边△ABC的边长为 　 　．20．已知二次函数y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3的图象与函数y＝﹣x2+6x的图象交于y轴一点，则m＝　 　．21．如图， ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交直线BC于点F，若EF：FD＝3：4，△BEF的面积为3，则 ABCD的面积为　 　．22．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°，若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，则BG的长为 　 　．23．如图，△ABC是等边三角形，矩形DEFG的顶点D在BC边上，且BD＝3CD＝3，DE＝AB＝2DG，连接AG、AE、AF，若将矩形DEFG绕点D旋转一周，当AG+AF最小时，则AE＝　 　．三．解答题24．我县晋原镇某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯57s，绿灯60s，黄灯3s，小明的爸爸由北往南开车随机地行驶到该路口．（1）他遇到红灯、绿灯、黄灯的概率各是多少？（2）我国新的交通法规定：汽车行驶到路口时，绿灯亮时才能通过，如果遇到黄灯亮或红灯亮时必须在路口外停车等候，问小明的爸爸开车随机到该路口，按照交通信号灯直行停车等候的概率是多少？25．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，另有一个可以自由旋转的圆盘．被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1、2、3（如图所示）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．26．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3，抛物线上不重合的两点A、B的横坐标分别为2n﹣1，n+3．（1）求这条抛物线的顶点C的坐标．（2）若A、B两点的纵坐标相等，求n的值．（3）当点A在对称轴左侧时，将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为L，设图象L的最高点与最低点的纵坐标之差为d，求d与n之间的函数关系式，并直接写出d随n的增大而减小时n的取值范围．（4）当点A在点B的左侧时，过A、B两点分别向抛物线的对称轴作垂线，垂足分别为点M、N（点M、N不与顶点C重合）．若点M、N、C中其中一点到另两点距离相等，直接写出n的值．27．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A （﹣2，0）、B （3，0），与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD∥x轴交BC于点D，过点P作PE⊥BC于点E，当△PDE的周长最大时，求出△PDE的周长最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当△PDE 的周长最大时，将点B沿射线AC的方向平移个单位至点B'，再将线段BB'沿射线BC方向平移，点B、B'的对应点分别记为点M、N．在平移过程中，点P、M、N是否能构成以PN为腰的等腰三角形，若能，直接写出点N的横坐标；若不能，请说明理由．28．如图，平行四边形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G．（1）求证：CG BF＝CD CF；（2）若AB＝4，AD＝8，求DG的长．29．如图，在△ABP中，C，D分别是AP，BP上的点．若CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝3.5，BD＝1．（1）求证：△ABP∽△DCP；（2）求AB的长．30．如图，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，连接DG，BE，AC，CF．（1）求证：DG＝BE；（2）求的值．31．如图，AD是△ABC的中线，且∠DAC＝∠B，E为AD上一点，CD＝CE．（1）求证：△ACE∽△BAD：（2）若AB＝10，BC＝6，试求线段AD的长．参考答案与试题解析一．选择题1．解：设旗杆高度为h，由题意得＝，h＝8米．故选：C．2．解：如图：连接BE，，∵四边形BCED是正方形，∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，∴BF＝CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，∴DP：DF＝1：2，∴DP＝PF＝CF＝BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，∵∠APD＝∠BPF，∴tan∠APD＝2．故选：A．3．解：①∵D、E均在反比例函数图象上，∴S△OAD＝S△OCE，又∵△OAD与△OCE的面积和为2，∴S△OAD＝S△OCE＝1，∴k＝2，故本选项正确；②∵B点坐标为（4，2），∴AB＝4，AO＝2，∵AD：DB＝1：3，∴AD＝1，AO＝2，∴k＝1×2＝2，故本选项错误；③∵△OAD与△OCE的面积相等，∴AD AO＝OC CE，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故本选项正确；④∵k＝6，∴S四边形OGFH＝6，∴S四边形ABCO＝6×4＝24，∴S△AOD＝S△CEO＝6×＝3，∴S四边形ODBE＝24﹣3﹣3＝18，故本选项正确．故选：C．4．解：∵DF∥AB，EF∥BC，∴四边形EBDF是平行四边形，BE＝DF，EF＝BD，A、∵EF∥BC，∴，故A不符合题意，B、∵DF∥AB，∴，故B不符合题意，C、∵DF∥AB，∴，故C不符合题意，D、∵DF∥AB，∴＝，∴，∴，故D符合题意，故选：D．5．解：∵，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，，不能得出．故选：D．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BCN∽△DMN，∴BN：DN＝BC：DM，∵M为AD中点，AD＝BC，∴BC＝AD＝2DM，∴BN：DN＝2：1，设DN＝x，则BN＝2x，∴BD＝3x，∴OD＝x，∴ON＝，∴ON：DN＝：x＝1：2，∴S△CNO：S△CND＝ON：DN＝1：2，故选：A．7．解：以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，白色区域有4个，因此＝，故选：C．二．填空题8．解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，故答案为：．9．解：能判断 ABCD是菱形的有：①AB＝BC、④AC⊥BD，所以从中随机抽取一张卡片，能判定 ABCD是菱形的概率为，故答案为：．10．解：设AC与BB'交于点N，连接AB'，BC，∵B'C∥AB，∴∠B'CN＝∠BAN，又∵B'N＝BN，∠B'NC＝∠BNA，∴△B'NC≌△BNA（AAS），∴B'C＝AB，∴四边形ABCB'为菱形，∵抛物线对称轴为直线x＝，∴AB＝AB'＝B'C＝BC＝2×＝5，又∵MA＝2﹣（﹣2）＝4，∴在Rt△AMB'中，MB'＝＝3，∴MC＝MB'+B'C＝3+5＝8，∴CD＝2×（8﹣）＝11．故答案为：11．11．解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∵对称轴在y轴的右侧，a，b异号，∴b＞0，∴①abc＜0，正确；∵﹣＜1，∴b＜﹣2a，∴②a＜b＜﹣2a正确；由于抛物线的顶点纵坐标大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故③错误，由题意知，a+b+c＝2，（1）a﹣b+c＜0，（2）4a+2b+c＜0，（3）把（1）代入（3）得到：4a+b+2﹣a＜0，则a＜．由（1）代入（2）得到：b＞1．则a＜﹣1．故④错误．综上所述，正确的结论是①②．故答案为①②．12．解：令﹣x2+4x﹣3＝0，解得：x＝1或3，y＝﹣x2+4x﹣3，抛物线开口向下，y＞0，则1＜x＜3，故答案为：1＜x＜3．13．解：∵点A在抛物线上，∴m＝（﹣3）2+4×（﹣3）+10＝7，∴点A（﹣3，7），∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴点A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为（﹣1，7），故答案为（﹣1，7）．14．解：∵二次函数有最大值，∴a＜0，∴这个二次函数的解析式可以是y＝﹣x2，故答案为：y＝﹣x2（答案不唯一）．15．解：设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c，∵抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，∴，解得，，∴y＝﹣x2+5x﹣4，设过点B（4，0），C（0，﹣4）的直线的解析式为y＝kx+m，解得，，即直线BC的解析式为：y＝x﹣4，设点D的坐标是（x，﹣x2+5x﹣4）∴S△BCD＝＝﹣2（x﹣2）2+8，∴当x＝2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8．故答案为：816．解：∵抛物线经过点A（4，0），∴×42+4b＝0，∴b＝﹣2，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为：直线x＝2，∵点C（1，﹣3），∴作点C关于x＝2的对称点C′（3，﹣3），直线AC′与x＝2的交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|＝AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；设直线AC′的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y＝3x﹣12，当x＝2时，y＝﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．故答案为：（2，﹣6）．17．解：﹣ x﹣2＝0整理得，x2﹣6x+8＝0，解得，x1＝2，x2＝4，当x＝0时，y＝﹣2，则点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2）∴OA＝2，OB＝4，OC＝2，则AB＝2，BC＝＝2，如图1，作AP⊥x轴交BC于P，当△BAP∽△BOC时，＝，即＝，解得，AP＝1，∴点P的坐标为（2，﹣1）；如图2，作AP′⊥BC于P′，作P′Q⊥AB于Q，当△BAP′∽△BCO时，＝，即＝，解得，BP′＝，∵P′Q⊥AB，∠BOC＝90°，∴△BQP′∽△BOC，∴＝＝，即＝＝，解得，QP′＝，BQ＝，∴OQ＝OB﹣BQ＝，∴点P′的坐标为（，﹣），综上所述，以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似，点P的坐标为（2，﹣1）或（，﹣），故答案为：（2，﹣1）或（，﹣）．18．解：依题意，应分为两种情况讨论，①当二次函数顶点在x轴下方，若yx＝1＜0且yx＝2≥0，即，解得此不等式组无解；若yx＝2＜0且yx＝1≥0，即，解得﹣1≤a＜﹣；②当二次函数的顶点在x轴上时，Δ＝0，即（a﹣3）2﹣12＝0，解得a＝3±2，而对称轴为x＝﹣，可知1≤﹣≤2，故a＝3﹣2．故答案为：﹣1≤a＜﹣或a＝3﹣2．19．解：过F作FD⊥BC于D，如图：∵等边△ABC，等边△AEF，∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EAF＝∠AEF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF＝60°，而BE＝x，∴CF＝x，∠FCD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACF＝60°，∴FD＝CF cos60°＝x，设等边△ABC边长是a，则CE＝BC﹣BE＝a﹣x，∴S△ECF＝CE FD＝（a﹣x） x＝﹣x2+ax，当x＝＝a时，S△ECF有最大值为＝a2，（1）△ECF的面积最大时，BE＝a，即E是BC的中点，∴AE⊥BC，∠AEB＝90°，∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝30°，故答案为：30°；（2）当x＝a时，S△ECF有最大值为a2，由图可知S△ECF的最大值是2，∴a2＝2，解得a＝4或a＝﹣4（边长a＞0，舍去），∴等边△ABC的边长为a＝4，故答案为：4．20．解：依题意，在y＝﹣x2+6x中，x＝0时，y＝0；在y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3中，x＝0时，y＝m2﹣2m﹣3＝0；即m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝﹣1或3．21．解：由题意得：BF∥AD，∴△EBF∽△EAD，∵EF：FD＝3：4，∴＝（）2＝（）2＝，∵△BEF的面积为3，∴S△EAD＝，∴S四边形BADF＝S△EAD﹣S△EBF＝﹣3＝，又∵AE∥DC，∴∠FBE＝∠FCD，∵∠BFE＝∠CFD，∴△FBE∽△FCD，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△FCD＝，∴S ABCD＝S四边形BADF+S△FCD＝+＝，故答案为：．22．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，∵∠BEF＝90°，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF，∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF＝1，CF＝3，∴，即，解得：DE＝2，∵AD∥BC，∴△EDF∽△GCF，∴，即，∴CG＝6，∴BG＝BC+CG＝10．故答案为：10．23．解：过点A作AH⊥BC于点H，连接AD，∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，∴AB＝AC＝BC，∠B＝60°，∴BH＝CH，∵BD＝3CD＝3，∴CD＝1，∴BC＝BD+CD＝3+1＝4，∴BH＝CH＝2，∴AB＝AC＝4，∴AH＝2，∵DE＝AB＝2DG＝4，∴DG＝2，∵四边形DEFG是矩形，∴FG＝DE＝4，∠DGF＝90°，EF＝DG＝2，∵AG+AF≥FG，∴当且仅当A、G、F三点共线时，AG+AF取得最小值为4，∵DH＝CH﹣CD＝2﹣1＝1，在Rt△ADH中，根据勾股定理，得AD＝＝＝，在Rt△ADG中，根据勾股定理，得AG＝＝＝3，∴AF＝GF﹣AG＝4﹣3＝1，在Rt△AEF中，根据勾股定理，得AE＝＝＝．∴当AG+AF最小时，则AE＝．故答案为：．三．解答题24．解：（1）红灯概率＝＝，绿灯概率＝＝，黄灯的概率＝＝．（2）直行停车等候的概率＝红灯的概率+黄灯的概率＝+＝．25．解：（1）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，∴P（和小于4）＝＝，∴小颖参加比赛的概率为：；（2）不公平，∵P（小颖）＝，P（小亮）＝．∴P（和小于4）≠P（和大于等于4），∴游戏不公平；可改为：若两个数字之和小于5，则小颖去参赛；否则，小亮去参赛．26．解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点C的坐标为（1，﹣4）；（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴．∴n＝0；（3）点A、B的坐标分别为（2n﹣1，4n2﹣8n）、（n+3，n2+4n）．当n≤﹣2时，d＝4n2﹣8n﹣（n2+4n）＝3n2﹣12n．当﹣2＜n≤0时，d＝4n2﹣8n﹣（﹣4）＝4n2﹣8n+4．当0＜n＜1时，d＝n2+4n﹣（﹣4）＝n2+4n+4．当n≤0时，d随n的增大而减小．（4）∵点A、B的坐标分别为（2n﹣1，4n2﹣8n）、（n+3，n2+4n），∴点M（1，4n2﹣8n），N（1，n2+4n），①当点N是MC中点时，有（4n2﹣8n）﹣（n2+4n）＝n2+4n﹣（﹣4），整理，得：n2﹣8n﹣2＝0，解得n＝4+3或n＝4﹣3，∵点A在点B的左侧，∴2n﹣1＜n+3，即n＜4，∴n＝4﹣3；②当点M是NC中点时，有（n2+4n）﹣（4n2﹣8n）＝4n2﹣8n﹣（﹣4），整理，得：7n2﹣20n+4＝0，解得n＝；综上，n的值为或或．27．解：（1）∵点A （﹣2，0）、B （3，0、C（0，4）在抛物线的图象上，∴将它们代入y＝ax2+bx+c得：∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵B （3，0）、C（0，4），∴OB＝3，OC＝4，在Rt△BOC中，BC＝＝5．∵PD∥x轴，∴∠PDE＝∠CBO，∵PE⊥BC，∴∠PED＝∠COB＝90°，∴△PDE∽△CBO，∴DE：PE：PD＝3：4：5，∴△PDE的周长C△PDE＝PD，∵B （3，0）、C（0，4），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．设P（m，﹣ m2+m+4），∵PD∥x轴交BC于点D，∴D（m2﹣m，﹣ m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m，∴C△PDE＝﹣m2+m＝﹣+2.7，∵﹣＜0，∴当m＝时，△PDE的周长取得最大值，最大值为2.7，此时点P的坐标为（，）；（3）∵A （﹣2，0）、C（0，4），∴直线AC的解析式为y＝2x+4，∵BB'＝，即点B向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B'，∴点B、B'的对应点M、N也同样有B、B'的位置关系，且点M在直线BC上，∴设M（n，﹣ n+4），则N（n+1，﹣ n+6）．由（2）得P（，），∴PM2＝n2﹣n+，PN2＝n2﹣n+，MN2＝5．若点P、M、N能构成以PN为腰的等腰三角形，则：①以P为顶点，PM2＝PN2，则n2﹣n+＝n2﹣n+，解得n＝，此时点N的横坐标xN＝；②以N为顶点，PN2＝MN2，则n2﹣n+＝5，解得n＝，此时点N的横坐标xN＝．综上所述，符合题意的点N的横坐标为或或．28．解：（1）证明：∵在平行四边形ABCD中；AB＝CD，AB∥DC∴△CGF∽△BAF∴＝∴＝∴CG BF＝CD CF；（2）∵∠B＝30°，AE⊥BC，AB＝4，∴AE＝AB＝∴BE＝＝＝6∵△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置∴EF＝BE＝6∴BF＝12∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，且AD＝8，AB＝4∴BC＝8，CD＝4∴CF＝BF﹣BC＝12﹣8＝4∵＝∴＝∴CG＝∴DG＝CD﹣CG＝4﹣＝．29．解：（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝3.5，BD＝1，∴AP＝AC+CP＝3.5+4＝7.5，BP＝BD+DP＝1+5＝6，∴＝，＝＝，∴，∵∠DPC＝∠APB，∴△ABP∽△DCP；（2）∵△ABP∽△DCP，∴，即：＝，∴AB＝6．30．证明：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AD＝AB，AG＝AE，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAB﹣∠GAB＝∠GAE﹣∠GAB，∴∠DAG＝∠BAE．∴△DAG≌△BAE．∴DG＝BE．（2）解：如图，连接AF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，AC＝．∴，同理，．∴＝．∵∠CAF＝∠CAB﹣∠FAB＝45°﹣∠FAB，同理可得∠BAE＝45°﹣∠FAB，∴∠CAF＝∠BAE．∴△CAF∽△BAE．∴．31．证明：（1）∵CD＝CE∴∠CDE＝∠CED∴∠AEC＝∠BDA又∵∠DAC＝∠B∴△ACE∽△BAD；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD＝CE＝BC＝3，∵∠DAC＝∠B，∴∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴，即，∴AC＝3，∵△ACE∽△BAD，∴，即，∴AD＝5．

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