根据定义，很容易验证矩阵乘法满足分配律 A ( B + C ) = A B + A C ( A + B ) C = A B + B C A(B+C) = AB + AC \\ (A+B)C = AB + BC A(B+C)=AB+AC(A+B)C=AB+BC

证第一个式子 A ( B + C ) = A [ b 1 + c 1 , ⋯   , b p + c p ] = [ A ( b 1 + c 1 ) , ⋯   , A ( b p + c p ) ] = [ A b 1 + A c 1 , ⋯   , A b p + A c p ] = [ A b 1 , ⋯   , A b p ] + [ A c 1 , ⋯   , A c p ] = A B + A C A(B+C) = A \left[ \mathbf{b_1+c_1},\cdots,\mathbf{b_p+c_p}\right] \\ = \left[ A(\mathbf{b_1+c_1}),\cdots,A(\mathbf{b_p+c_p})\right] \\ = \left[ A\mathbf{b_1}+A\mathbf{c_1},\cdots,A\mathbf{b_p}+A\mathbf{c_p}\right] \\ = \left[ A\mathbf{b_1},\cdots,A\mathbf{b_p}\right] + \left[ A\mathbf{c_1},\cdots,A\mathbf{c_p}\right] \\ = AB + AC A(B+C)=A[b1​+c1​,⋯,bp​+cp​]=[A(b1​+c1​),⋯,A(bp​+cp​)]=[Ab1​+Ac1​,⋯,Abp​+Acp​]=[Ab1​,⋯,Abp​]+[Ac1​,⋯,Acp​]=AB+AC 矩阵乘法满足结合律 A ( B C ) = ( A B ) C A(BC) = (AB)C A(BC)=(AB)C 证：根据 A ( B c ) = ( A B ) c A(B\mathbf{c}) = (AB)\mathbf{c} A(Bc)=(AB)c ，令向量 c \mathbf{c} c 为矩阵 C C C 的每个向量得， A ( B c 1 ) = ( A B ) c 1 ⋯ A ( B c p ) = ( A B ) c p A(B\mathbf{c_1}) = (AB)\mathbf{c_1} \\ \cdots \\ A(B\mathbf{c_p}) = (AB)\mathbf{c_p} A(Bc1​)=(AB)c1​⋯A(Bcp​)=(AB)cp​

( A B ) C = ( A B ) [ c 1 , ⋯   , c p ] = [ ( A B ) c 1 , ⋯   , ( A B ) c p ] = [ A ( B c 1 ) , ⋯   , A ( B c p ) ] = A [ B c 1 , ⋯   , B c p ] = A ( B [ c 1 , ⋯   , c p ] ) = A ( B C ) (AB)C = (AB)\left[ \mathbf{c_1},\cdots,\mathbf{c_p}\right] \\ = \left[ (AB)\mathbf{c_1},\cdots,(AB)\mathbf{c_p}\right] \\ = \left[ A(B\mathbf{c_1}),\cdots,A(B\mathbf{c_p})\right] \\ = A\left[ B\mathbf{c_1},\cdots,B\mathbf{c_p}\right] \\ = A(B\left[ \mathbf{c_1},\cdots,\mathbf{c_p}\right]) \\ = A(BC) (AB)C=(AB)[c1​,⋯,cp​]=[(AB)c1​,⋯,(AB)cp​]=[A(Bc1​),⋯,A(Bcp​)]=A[Bc1​,⋯,Bcp​]=A(B[c1​,⋯,cp​])=A(BC)

矩阵数乘满足交换律 λ ( A B ) = ( λ A ) B = A ( λ B ) \lambda (AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B) λ(AB)=(λA)B=A(λB) 矩阵这些运算规则和实数运算规则一样，所以涉及矩阵加法、数乘、分配率和结合律时，可以把矩阵当作实数来化简表达式，只要满足形状要求。

实数乘法满足交换律，即 a b = b a ab=ba ab=ba 。但矩阵乘法不满足交换律，即一般来说 A B ≠ B A AB \ne BA AB​=BA ，只有特殊矩阵才满足交换律。这是矩阵最特殊的地方，也是最容易出错的地方！比如计算 ( A + B ) ( A + B ) = ( A + B ) A + ( A + B ) B = ( A A + B A ) + ( A B + B B ) = A A + B B + A B + B A ≠ A A + B B + 2 A B ≠ A A + B B + 2 B A (A+B)(A+B) = (A+B)A + (A+B)B = (AA + BA) + (AB + BB) \\ = AA + BB + AB + BA \\ \ne AA + BB + 2AB \\ \ne AA + BB + 2BA (A+B)(A+B)=(A+B)A+(A+B)B=(AA+BA)+(AB+BB)=AA+BB+AB+BA​=AA+BB+2AB​=AA+BB+2BA 所以在计算矩阵乘法时，一定要严格按照矩阵顺序来，不要随便改变矩阵位置！

首先， A B AB AB 和 B A BA BA 要能相乘，必须满足形状要求，则 A m n A_{mn} Amn​ B n m B_{nm} Bnm​ ；乘积相等，要求 m = n m=n m=n ，故 A A A ， B B B 为同型方阵。

其次，即使为同型方阵， A B = [ A b 1 , ⋯   , A b n ] AB=\left[ A\mathbf{b_1},\cdots,A\mathbf{b_n}\right] AB=[Ab1​,⋯,Abn​] 和 B A = [ B a 1 , ⋯   , B a n ] BA=\left[ B\mathbf{a_1},\cdots,B\mathbf{a_n}\right] BA=[Ba1​,⋯,Ban​] ，向量 A b i A\mathbf{b_i} Abi​ 是向量组 A A A 的线性组合，向量 B a i B\mathbf{a_i} Bai​ 是向量组 B B B 的线性组合，完全是不同的线性组合，故一般不会相等。

定义 方阵可交换 对于两个 n n n 阶方阵 A , B A,B A,B ，若 A B = B A AB=BA AB=BA ，则称方阵 A A A 与 B B B 是可交换的。