本节, 我想讨论结合律、交换律、分配律.

我们知道, 数的加法适合结合律与交换律; 数的乘法也适合结合律与交换律; 并且, 乘法与加法适合分配律. 具体地, 我们设 a, b, c 是 (任何的) 三个数. 那么, 加法的结合律就是 (a+b)+c=a+(b+c); 乘法的结合律就是 (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c); 加法的交换律就是 a+b=b+a; 乘法的交换律就是 a⋅b=b⋅a; 分配律是 a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c 与 (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c, 其中, 形如 a⋅b+c⋅d 的文字应被理解为 (a⋅b)+(c⋅d) (我们通常先算乘法, 再算加法).

这些运算律看上去抽象, 但我们一直都在用它们作计算.

例 40.1. 在小学, 我们学过乘法表. 利用乘法表与数的运算律, 我们可以作二个数的乘法. 比如, ==============================​23⋅5723⋅(50+7)23⋅50+23⋅723⋅(5⋅10)+23⋅7(23⋅5)⋅10+23⋅7(23⋅5)⋅10+23⋅7((20+3)⋅5)⋅10+(20+3)⋅7(20⋅5+3⋅5)⋅10+(20⋅7+3⋅7)(100+15)⋅10+(140+21)115⋅10+1611150+161(1000+150)+1611000+(150+161)1000+((100+50)+(100+61))1000+(((100+50)+100)+61)1000+((100+(50+100))+61)1000+((100+(100+50))+61)1000+(((100+100)+50)+61)1000+((100+100)+(50+61))1000+(200+(50+(60+1)))1000+(200+((50+60)+1))1000+(200+((50+(50+10))+1))1000+(200+(((50+50)+10)+1))1000+(200+((100+10)+1))1000+((200+(100+10))+1)1000+(((200+100)+10)+1)1000+((200+100)+(10+1))1000+(300+(10+1))1000+(300+11)1000+3111311.​其实, 我还是略了几步; 完整地写出计算过程过于复杂了.

在小学, 我们就知道, 因为加法 (乘法) 适合结合律与交换律, 故当我们求若干个数的和 (积) 时, 我们可随意地交换这些数的次序, 且可以任何方式作加法 (乘法). 比如,========​((23+52)+77)+48(23+52)+(77+48)(23+52)+(48+77)(23+(52+48))+77(23+100)+77(100+23)+77100+(23+77)100+100200.​不过, 小学教材没有证明此事; 初中教材似乎也没有证明此事; 高中教材似乎也没有证明此事. 所以, 此事的论证, 留给了其他人.

现在, 我接受这个挑战. 不过, 为了方便说话, 我要一些新的概念.

定义 40.2. 设 a, b 是二个文字. 我们叫形如 (a,b) 的文字为有序对.

再设 c, d 也是二个文字. 说二个有序对 (a,b), (c,d) 相等, 就是说 a=c 且 b=d.

定义 40.3. 集是具有某个特定性质的对象作成的一个整体. 我们叫它的对象为元.

无元的集是空集. 自然地, 至少含一个元的集, 是非空的.

若 a 是集 A 的元, 则写 a∈A 或 A∋a, 说 a 属于 A 或 A 包含 a. 若 a 不是集 A 的元, 则写 a∈/A 或 A∋a, 说 a 不属于 A 或 A 不包含 a.

一般地, 若集 A 由元 a, b, c, … 作成, 我们写A={a,b,c,…}.​还有一个记号. 设集 A 是由具有某个性质 p 的对象作成. 我们写A={x∣x 具有性质 p}.​

例 40.4. 当我们视所有的整数为一个整体时, 这个整体, 就是整数集. 习惯地, 我们表之以 Z.

我们常记由全体非负整数 (自然数) 作成的集为 N. 那么, 我们可写N={0,1,2,…}.​不难看出, −1∈Z, 但 −1∈/N.

我们可写Z={0,1,−1,2,−2,…}.​我们也可写Z={x∣x∈N 或 −x∈N}.​

定义 40.5. 设 S, T 是二个非空的集. 定义S×T={(s,t)∣s∈S, t∈T}.​

例 40.6. 设 A={1,2,3}, B={4,5}. 那么, A×B={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}.​不过, B×A={(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)}.​可以看到, 虽然 A×B 与 B×A 的元的数目是相同的, 但二者的元是不一样的.

抽象地看, a+b 的 +, 其实是一个对应法则: + 变一个有序对 (a,b) 为某一个唯一确定的数 s; 这个数, 可被表示为 a+b. 类似地, ⋅ 变一个有序对 (a,b) 为某一个唯一确定的数 p; 这个数, 可被表示为 a⋅b; 甚至, 特别地, 它也可被表示为 ab.

定义 40.7. 设 S 是一个非空的集. 设对应法则 ∘ 适合: 任取 S×S 的一个有序对 (a,b), 必存在 S 里的唯一的一个元 r, 使在对应法则 ∘ 下, (a,b) 跟 r 对应. (也就是说: (a) 任取 S 的二元 a, b (不必互不相同), 存在 S 的元 r, 使在对应法则 ∘ 下, (a,b) 跟 r 对应; (b) 若在对应法则 ∘ 下, (a,b) 跟 r 对应, 且 (a,b) 跟 t 对应, 则 r=t.) 那么, 我们说, ∘ 是 S 的一个二元运算.

设在对应法则 ∘ 下, (a,b) 跟 r 对应. 我们表此事以 a∘b=r.

例 40.8. 加法与乘法都是 N 的二元运算: 二个给定的非负整数 a, b 的和 (或积) 是被唯一确定的非负整数 a+b (或 ab). 不过, 减法不是: 二个非负整数的差不一定是非负整数.

但是, 减法是 Z 的二元运算. 当然, 加法与乘法也是.

设 S 为非空的集. 设 ∘ 是 S 的一个二元运算. 文字 a∘b∘c 是否有意义? 显然, 我们并没有定义它的含义; 毕竟, 二元运算每次只对二个元作运算. 但是, 我们总是可以先挑二个元作运算, 然后再作一次运算. 比如, 先施 ∘ 于 a, b, 可得 (a∘b)∘c; 先施 ∘ 于 b, c, 可得 a∘(b∘c). 二者不一定相同; 毕竟, 二元运算是相当自由的.

例 40.9. (11−5)−2=11−(5−2).

不过, 当然, 也有 (a∘b)∘c 总是等于 a∘(b∘c) 的情形.

定义 40.10. 设 S 是一个非空的集. 设 ∘ 是 S 的一个二元运算. 若对 S 的任何三元 a, b, c (不一定是互不相同的, 下同), 必有(a∘b)∘c=a∘(b∘c),​我们说, ∘ 适合结合律.

通俗地, 结合律说, 若非空的集 S 的二元运算 ∘ 适合结合律, a, b, c 为 S 的任何三元, 则无论如何加括号 (但不改元的前后次序), 其结果都是相等的. 所以, a∘b∘c 是有意义的.

我们看看结合律有什么用.

设 S 是非空的集. 设 ∘ 是 S 的一个二元运算. 设 ∘ 适合结合律. 设 a, b, c, d 是 S 的 4 个元. 考虑文字 a∘b∘c∘d. 显然, 它并没有什么含义 (二元运算每次只对二个元作运算). 不过, 我们总是可以二个二个地作运算. 具体地, 我们有如下 5 个结合 (加括号) 方式:​r4,1​=((a∘b)∘c)∘d,r4,2​=(a∘(b∘c))∘d,r4,3​=(a∘b)∘(c∘d),r4,4​=a∘((b∘c)∘d),r4,5​=a∘(b∘(c∘d)).​不难用结合律验证, r4,2​, r4,3​, r4,4​, r4,5​ 都等于 r4,1​:r4,5​=====​a∘(b∘(c∘d))a∘((b∘c)∘d)(a∘(b∘c))∘d((a∘b)∘c)∘d(a∘b)∘(c∘d).​所以, 通俗地, 若非空的集 S 的二元运算 ∘ 适合结合律, a, b, c, d 为 S 的任何 4 元, 则无论如何加括号 (但不改元的前后次序), 其结果都是相等的.

我们有理由认为, 改 3, 4 为任何高于 2 的整数, 此事仍成立. 为证明它, 我们引入一个小小的记号.

定义 40.11. 设 ∘ 是 S 的一个二元运算. 设 a1​, a2​, …, an​ 是 S 的 n 个元. 定义[a1​,a2​,…,an​]=⎩⎨⎧​a1​,a1​∘a2​,[a1​,a2​,…,an−1​]∘an​,​n=1;n=2;n⩾3.​​由此可见, [a1​,a2​,…,an​] 就是从前向后地, 二个二个地施 ∘ 于 a1​, a2​, …, an​ 得到的结果.

为方便, 我们说, 施 ∘ 于 S 的一个元 a 的结果就是 a 自己.

现在我们证明一件重要的事.

定理 40.12. 设非空的集 S 的二元运算 ∘ 适合结合律, a1​, a2​, …, an​ 为 S 的任何 n 元. 则无论如何加括号 (但不改元的前后次序), 其结果都是相等的.

证. 注意到, 有限多个元, 只有有限多个加括号的方式. 设 a1​, a2​, …, an​ 有 sn​ 个加括号的方式 (比如, s1​=s2​=1, s3​=2, s4​=5). 设以第 i 个加括号的方式算出的结果为 rn,i​. 我们证明: 它们都等于 [a1​,a2​,…,an​] (值得注意的是, 这也是一个加括号的方式, 故它必跟 rn,1​, rn,2​, …, rn,sn​​ 中的一个有相同的计算式). 具体地, 设命题 P(n) 为

任取 S 的 n 元 a1​, a2​, …, an​, 无论如何加括号 (但不改元的前后次序), 施 ∘ 于此 n 元的结果都等于 [a1​,a2​,…,an​].

对任何不超过 n 的正整数 i, P(i) 是正确的.

取 n0​=3. 显然, Q(3) 是正确的.

现在, 我们假定, Q(m−1) 是正确的. 我们要证, Q(m) 也是正确的.

因为 Q(m−1) 是正确的, 故 P(1), P(2), …, P(m−1) 都是正确的. 所以, 若我们能由此证明 P(m) 是正确的, 则 Q(m) 是正确的.

任取 S 的 m 元 a1​, a2​, …, am​. 任取一个 rm,i​. 注意到, 无论如何加括号作计算, 最后的那一步总是二个元的计算 (可回想 4 个元时的情形). 我们设 rm,i​=b1​∘b2​, 其中 b1​ 是结合 a1​, a2​, …, am​ 的前 k 个元的结果, 而 b2​ 是结合 a1​, a2​, …, am​ 的后 m−k 个元的结果. 注意到 k, m−k 都低于 m, 也都不低于 1 (因为 k⩾1), 故, 由假定, b1​=[a1​,a2​,…,ak​],b2​=[ak+1​,…,am​].​若 m−k=1, 那么 b2​ 就是 am​ 自己. 故rm,i​=[a1​,a2​,…,am−1​]∘am​=[a1​,a2​,…,am​].​若 m−k>1, 则rm,i​======​b1​∘b2​[a1​,a2​,…,ak​]∘[ak+1​,…,am−1​,am​][a1​,a2​,…,ak​]∘([ak+1​,…,am−1​]∘am​)([a1​,a2​,…,ak​]∘[ak+1​,…,am−1​])∘am​[a1​,a2​,…,ak​,ak+1​,…,am−1​]∘am​[a1​,a2​,…,am​].​所以, Q(m) 是正确的.

证毕.

设 ∘ 是非空的集 S 的一个适合结合律的二元运算. 设 a1​, a2​, …, an​ 为 S 的任何 n 元. 以后, 我们简单地写[a1​,a2​,…,an​]​为a1​∘a2​∘⋯∘an​.​当然, 因为结合律, 我们也可表任何一个加括号的方式以上式.

设 S 为非空的集. 设 ∘ 是 S 的一个二元运算. 设 a, b∈S. 自然地, a∘b 与 b∘a 都有意义. 因为二元运算是相当自由的, 故二者不一定相等.

例 40.13. 7−3=3−7.

不过, 当然, 也有 a∘b 总是等于 b∘a 的情形.

定义 40.14. 设 S 是一个非空的集. 设 ∘ 是 S 的一个二元运算. 若对 S 的任何二元 a, b, 必有a∘b=b∘a,​我们说, ∘ 适合交换律.

现在, 我们证明前面提到的重要事实: 当我们求若干个数的和 (积) 时, 我们可随意地交换这些数的次序, 且可以任何方式作加法 (乘法).

定理 40.15. 设非空的集 S 的二元运算 ∘ 适合结合律与交换律, a1​, a2​, …, an​ 为 S 的任何 n 元. 则无论如何加括号与交换元的前后次序, 其结果都是相等的.

证. 设命题 P(n) 为

任取 S 的 n 元 a1​, a2​, …, an​, 无论如何加括号与交换元的前后次序, 施 ∘ 于此 n 元的结果都等于 a1​∘a2​∘⋯∘an​.

P(1) 是对的, 因为没法换.

P(2) 是对的, 因为交换律.

现在, 我们假定, P(m−1) 是正确的. 我们要证, P(m) 也是正确的.

任取 S 的 m 元 a1​, a2​, …, am​. 设 i1​, i2​, …, im​ 是不超过 m 的正整数, 且互不相同. 因为结合律, 故, 无论如何加括号, 施 ∘ 于 ai1​​, ai2​​, …, aim​​ 的结果都等于 ai1​​∘ai2​​∘⋯∘aim​​. 我们证它等于 a1​∘a2​∘⋯∘am​ 即可.

若 im​=m, 则 i1​, i2​, …, im−1​ 是不超过 m−1 的正整数, 且互不相同. 故===​ai1​​∘ai2​​∘⋯∘aim−1​​∘aim​​(ai1​​∘ai2​​∘⋯∘aim−1​​)∘am​(a1​∘a2​∘⋯∘am−1​)∘am​a1​∘a2​∘⋯∘am−1​∘am​.​

证毕.

值得一提的是, 只有交换律而没有结合律的二元运算是没有这个好性质的.

例 40.16. 定义 Z 上的二元运算 a∘b=ab−(a+b). 不难验证, ∘ 适合交换律. 我们取 a, b, c, d 为 2, 3, 5, 7. 于是, ​(2∘3)∘(5∘7)=1∘23=−1,(2∘5)∘(3∘7)=3∘11=19.​不难发现, ∘ 不适合结合律: ​(1∘0)∘0=−1∘0=1,1∘(0∘0)=1∘0=−1.​

最后, 我们看分配律.

定义 40.17. 设 S 是一个非空的集. 设 ∘ 是 S 的一个二元运算. 设 ⊕ 也是 S 的一个二元运算.

若对 S 的任何三元 a, b, c, 必有a∘(b⊕c)=(a∘b)⊕(a∘c),​我们说, ∘ 与 ⊕ 适合左分配律.

若对 S 的任何三元 a, b, c, 必有(a⊕b)∘c=(a∘c)⊕(b∘c),​我们说, ∘ 与 ⊕ 适合右分配律.

若 ∘ 与 ⊕ 既适合左分配律, 也适合右分配律, 我们说, ∘ 与 ⊕ 适合分配律.

若 ⊕ 适合结合律, 我们可得到如下三个结果.

定理 40.18. 设 S 是一个非空的集. 设 ∘ 是 S 的一个二元运算. 设 ⊕ 是 S 的一个二元运算, 且适合结合律. 再设 ∘ 与 ⊕ 适合左分配律. 则对 S 的任何 n+1 元 b, a1​, a2​ …, an​, b∘(a1​⊕a2​⊕⋯⊕an​)=(b∘a1​)⊕(b∘a2​)⊕⋯⊕(b∘an​).​

证. 设命题 P(n) 为

任取 S 的 n+1 元 b, a1​, a2​, …, an​, b∘(a1​⊕a2​⊕⋯⊕an​)=(b∘a1​)⊕(b∘a2​)⊕⋯⊕(b∘an​).​

P(1) 是对的 (显然).

P(2) 是对的, 因为左分配律.

现在, 我们假定, P(m−1) 是正确的. 我们要证, P(m) 也是正确的.

证毕.

您可用完全类似的方法, 证明如下二个事实. 我就不证了.

定理 40.19. 设 S 是一个非空的集. 设 ∘ 是 S 的一个二元运算. 设 ⊕ 是 S 的一个二元运算, 且适合结合律. 再设 ∘ 与 ⊕ 适合右分配律. 则对 S 的任何 n+1 元 b, a1​, a2​ …, an​, (a1​⊕a2​⊕⋯⊕an​)∘b=(a1​∘b)⊕(a2​∘b)⊕⋯⊕(an​∘b).​

定理 40.20. 设 S 是一个非空的集. 设 ∘ 是 S 的一个二元运算. 设 ⊕ 是 S 的一个二元运算, 且适合结合律. 再设 ∘ 与 ⊕ 适合分配律. 则对 S 的任何 n+1 元 b, a1​, a2​ …, an​, ​b∘(a1​⊕a2​⊕⋯⊕an​)=(b∘a1​)⊕(b∘a2​)⊕⋯⊕(b∘an​),(a1​⊕a2​⊕⋯⊕an​)∘b=(a1​∘b)⊕(a2​∘b)⊕⋯⊕(an​∘b).​