截断误差（truncation error）是指在使用数值方法（例如有限差分法、有限体积法、有限元法等）离散化连续数学模型（如微分方程）时引入的误差。它是由于对连续方程进行离散近似而产生的。

在数值分析中，截断误差通常源于以下两个方面：

1. **离散化误差**：    - 这是由将连续变量和连续方程离散化引入的误差。例如，在有限差分法中，导数是用差分近似的，这种近似引入了误差。     2. **展开截断误差**：    - 当使用泰勒级数展开时，仅取有限项，忽略了高阶项。例如，使用泰勒展开近似导数时，仅取前几项近似，而忽略了更高次项，这种忽略引入了误差。

举一个具体的例子来说明截断误差：

假设我们使用前向差分公式来近似一维函数 \(f(x)\) 的一阶导数：

这个公式是从泰勒展开式推导而来的：

通过忽略高阶项 \(O(h^3)\)，我们得到前向差分公式：

截断误差就是忽略的高阶项：

这个误差是关于步长 \(h\) 的函数，随着 \(h\) 减小，误差也会减小。然而，当步长非常小时，计算机的舍入误差会变得显著。因此，截断误差和舍入误差之间需要权衡。

**总结**：截断误差是由于使用数值方法近似连续数学模型而引入的误差。它反映了数值方法的近似程度，可以通过减小步长（或网格大小）来减小，但同时要注意舍入误差的影响。  

舍入误差（round-off error）是由于计算机在表示和运算浮点数时，有限的精度限制所引入的误差。在计算机内部，浮点数是用有限的位数来表示的，因此很多数值无法被精确表示，需要进行近似，这就产生了舍入误差。

舍入误差主要来源于以下几个方面：

1. **表示误差**：    - 由于计算机只能使用有限的位数表示数值，所以很多实数（特别是无理数或非常长的小数）无法被精确表示。例如，十进制的数值  在二进制系统中无法被精确表示，需要进行舍入。

2. **运算误差**：    - 在数值计算中，当对浮点数进行加减乘除等运算时，结果可能需要更多的位数来精确表示，而计算机只能保留有限的位数，这也会引入误差。例如，两个非常接近的浮点数相减，可能导致有效位数丢失，引入显著误差。

### 举个例子

假设我们在十进制系统中有两个浮点数

a = 1.234567

b = 1.234568

我们想要计算 b - a：

理论上，结果应该是 0.000001。但是在实际计算中，由于浮点数表示的精度限制，可能会得到一个近似值而不是精确值。例如，在某些计算机系统中，结果可能会是 0.000000999999998。

### 舍入误差的影响

在数值计算中，舍入误差可能会随着计算的进行而累积，特别是在进行大量运算或迭代计算时。这就是为什么在设计数值算法时，需要考虑如何尽量减小舍入误差的影响。例如，使用合适的数据类型（如双精度浮点数）和避免不必要的数值运算等。

**总结**：舍入误差是由于计算机表示和运算浮点数时的有限精度引起的误差。它在数值计算中是不可避免的，但通过合理的算法设计和数值分析技巧，可以将其影响减到最小。