闭区间上的连续函数具有许多特殊的性质，在开区间上不一定具有。

命题：若函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，则它在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有界。

证明：用反证法。

如果 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上无界，则将 [ a , b ] [a,b] [a,b]等分为两个小区间 [ a , a + b 2 ] , [ a + b 2 , b ] [a,\dfrac{a+b}2],[\dfrac{a+b}{2},b] [a,2a+b​],[2a+b​,b]，函数 f ( x ) f(x) f(x)至少在其中一个小区间上无界，记作 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [a1​,b1​]；继续等分，函数依然至少在一个半区间上无界，记作 [ a 2 , b 2 ] [a_2,b_2] [a2​,b2​]；依此进行，得到一个闭区间套 { [ a n , b n ] } \{[a_n,b_n]\} {[an​,bn​]}，这样就存在一个唯一的实数 ξ \xi ξ属于所有区间 [ a n , b n ] [a_n,b_n] [an​,bn​]，且 ξ = lim ⁡ n → ∞ a n = lim ⁡ n → ∞ b n . \xi=\lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}b_n. ξ=n→∞lim​an​=n→∞lim​bn​. 由于 f ( ξ ) f(\xi) f(ξ)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续， f ( x ) f(x) f(x)在 ξ \xi ξ处连续，即 f ( ξ ) = lim ⁡ x → ξ f ( x ) f(\xi)=\lim\limits_{x\to \xi}f(x) f(ξ)=x→ξlim​f(x)存在，所以存在一个 δ \delta δ，使得 f ( x ) f(x) f(x)在 U ∘ ( ξ , δ ) U^\circ(\xi,\delta) U∘(ξ,δ)有界（这是函数极限的有界性），结合函数的连续性，对于一切 x ∈ U ( ξ , δ ) ∩ [ a , b ] x\in U(\xi,\delta)\cap [a,b] x∈U(ξ,δ)∩[a,b]存在 ∣ f ( x ) ∣ ≤ M . |f(x)|\le M. ∣f(x)∣≤M. 由于闭区间套的长度趋近于0，所以一定存在一个 N N N，使得 n > N n>N n>N时， b n − a n < δ / 2 b_n-a_n0,\exist x,f(x)0,∃x,f(x)xn​}，其中 α ≤ f ( x n ) < α + 1 n \alpha\le f(x_n)xnk​​}，由于 { x n } \{x_n\} {xn​}的构造方式，有 α ≤ f ( x n k ) < α + 1 n k < α + 1 k . \alpha\le f(x_{n_k})f(x)∣x∈[a,b]}和最小值 m = min ⁡ { f ( x ) ∣ x ∈ [ a , b ] } m=\min\{f(x)|x\in [a,b]\} m=min{f(x)∣x∈[a,b]}之间的任何一个值。

证明：建立介值定理与零点存在定理的联系。

由最值定理，存在 ξ , η ∈ [ a , b ] \xi,\eta\in [a,b] ξ,η∈[a,b]使得 f ( ξ ) = m , f ( η ) = M f(\xi)=m,f(\eta)=M f(ξ)=m,f(η)=M，不妨假设 ξ < η \xi0,∃δ(ε)>0，只要 ∣ x 1 − x 2 ∣ < δ ( x 1 , x 2 ∈ X ) |x_1-x_2|xn′′​}(xn′​,xn′′​∈X)，有 lim ⁡ n → ∞ ( x n ′ − x n ′ ′ ) = 0 ⇒ lim ⁡ n → ∞ ( f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ) = 0. \lim_{n\to \infty}(x_n'-x_n'')=0\Rightarrow \lim_{n\to \infty}(f(x_n')-f(x_n''))=0. n→∞lim​(xn′​−xn′′​)=0⇒n→∞lim​(f(xn′​)−f(xn′′​))=0. 命题(Cantor)：若函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，则它在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上一致连续。

证明：采用反证法。

如果 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上不是一致连续的，则存在 ε 0 > 0 \varepsilon_0>0 ε0​>0与点列 { x n ′ } , { x n ′ ′ } \{x_n'\},\{x_n''\} {xn′​},{xn′′​}满足 ∣ x n ′ − x n ′ ′ ∣ < 1 n , ∣ f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ∣ ≥ ε 0 . |x_n'-x_n''|xn′′​}中选取同样下标的点列 { x n k ′ ′ } \{x_{n_k}''\} {xnk​′′​}，则 ∣ x n ′ − x n k ′ ′ ∣ < 1 n k |x_{n}'-x_{n_k}''|