一文读懂麦克纳姆轮全向移动原理及剖析

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一文读懂麦克纳姆轮全向移动原理及剖析

2023-10-28 04:32| 来源: 网络整理| 查看: 265

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参考文章如下，计算过程小白可能看不懂，于是做进一步补充，写出该文

https://zhuanlan.zhihu.com/p/20282234?utm_source=qq&utm_medium=social

什么是麦克纳姆轮在竞赛机器人和特殊工种机器人中，全向移动经常是一个必需的功能。「全向移动」意味着可以在平面内做出任意方向平移同时自转的动作。为了实现全向移动，一般机器人会使用「全向轮」（Omni Wheel）或「麦克纳姆轮」（Mecanum Wheel）这两种特殊轮子。

全向轮：

麦克纳姆轮：

全向轮与麦克纳姆轮的共同点在于他们都由两大部分组成：轮毂和辊子（roller）。轮毂是整个轮子的主体支架，辊子则是安装在轮毂上的鼓状物。全向轮的轮毂轴与辊子转轴相互垂直，而麦克纳姆轮的轮毂轴与辊子转轴呈 45° 角。理论上，这个夹角可以是任意值，根据不同的夹角可以制作出不同的轮子，但最常用的还是这两种。

全向轮与麦克纳姆轮（以下简称「麦轮」）在结构、力学特性、运动学特性上都有差异，其本质原因是轮毂轴与辊子转轴的角度不同。经过分析，二者的运动学和力学特性区别可以通过以下表格来体现。

计算过程如下，供参考，学霸可点开大图验算：

近年来，麦轮的应用逐渐增多，特别是在 Robocon、FRC 等机器人赛事上。这是因为麦克纳姆轮可以像传统轮子一样，安装在相互平行的轴上。而若想使用全向轮完成类似的功能，几个轮毂轴之间的角度就必须是 60°，90° 或 120° 等角度，这样的角度生产和制造起来比较麻烦。所以许多工业全向移动平台都是使用麦克纳姆轮而不是全向轮，比如这个国产的叉车：全向移动平台麦克纳姆轮叉车美科斯叉车

另外一个原因，可能是麦轮的造型比全向轮要酷炫得多，看起来有一种不明觉厉的感觉……

的确，第一次看到麦轮运转起来，不少人都会惊叹。以下视频直观地说明了麦轮底盘在平移和旋转时的轮子旋转方向。

麦克纳姆轮工作原理

【物理篇-力学专题】E03 S1小车为什么横着走？~滚动摩擦与麦克纳姆轮

【初中-物理】E08 速度解算？绕圆运动？麦克纳姆轮-进阶

麦轮的安装方法

麦轮一般是四个一组使用，两个左旋轮，两个右旋轮。左旋轮和右旋轮呈手性对称，区别如下图。

安装方式有多种，主要分为：X-正方形（X-square）、X-长方形（X-rectangle）、O-正方形（O-square）、O-长方形（O-rectangle）。其中 X 和 O 表示的是与四个轮子地面接触的辊子所形成的图形；正方形与长方形指的是四个轮子与地面接触点所围成的形状。

X-正方形：轮子转动产生的力矩会经过同一个点，所以 yaw 轴无法主动旋转，也无法主动保持 yaw 轴的角度。一般几乎不会使用这种安装方式。X-长方形：轮子转动可以产生 yaw 轴转动力矩，但转动力矩的力臂一般会比较短。这种安装方式也不多见。O-正方形：四个轮子位于正方形的四个顶点，平移和旋转都没有任何问题。受限于机器人底盘的形状、尺寸等因素，这种安装方式虽然理想，但可遇而不可求。O-长方形：轮子转动可以产生 yaw 轴转动力矩，而且转动力矩的力臂也比较长。是最常见的安装方式。麦轮底盘的正逆运动学模型

以O-长方形的安装方式为例，四个轮子的着地点形成一个矩形。正运动学模型（forward kinematic model）将得到一系列公式，让我们可以通过四个轮子的速度，计算出底盘的运动状态；而逆运动学模型（inverse kinematic model）得到的公式则是可以根据底盘的运动状态解算出四个轮子的速度。需要注意的是，底盘的运动可以用三个独立变量来描述：X轴平动、Y轴平动、yaw 轴自转；而四个麦轮的速度也是由四个独立的电机提供的。所以四个麦轮的合理速度是存在某种约束关系的，逆运动学可以得到唯一解，而正运动学中不符合这个约束关系的方程将无解。

先试图构建逆运动学模型，由于麦轮底盘的数学模型比较复杂，我们在此分四步进行：

①将底盘的运动分解为三个独立变量来描述；

②根据第一步的结果，计算出每个轮子轴心位置的速度；

③根据第二步的结果，计算出每个轮子与地面接触的辊子的速度；

④根据第三部的结果，计算出轮子的真实转速。

一、底盘运动的分解

我们知道，刚体在平面内的运动可以分解为三个独立分量：X轴平动、Y轴平动、yaw 轴自转。如下图所示，底盘的运动也可以分解为三个量：

$V_{tx}$ 表示 X 轴运动的速度，即左右方向，定义向右为正，这是人为设置的底盘水平方向的速度，是已知量；

$V_{ty}$ 表示 Y 轴运动的速度，即前后方向，定义向前为正，这是人为设置的底盘垂直方向的速度，是已知量；

$\underset{W}{\rightarrow}$ 表示 Z轴自转的角速度，定义逆时针为正，这是人为设置的底盘原地旋转的速度，是已知量；

以上三个量一般都视为四个轮子的几何中心（矩形的对角线交点）的速度,也是底盘控制时设置的已知量

二、计算出轮子轴心位置的速度（以右上角轮子为例）

定义：

$\underset{V}{\rightarrow}_{t}$ 表示几何中心的合速度（不包括W）向量，由已知量 $V_{tx}$ 和 $V_{ty}$ 组成的向量合速度，不一定与 $\underset{r}{\rightarrow}$ 在一条线上；

$\underset{r}{\rightarrow}$ 为从几何中心指向轮子轴心的矢量；

$\underset{V}{\rightarrow}$ 为轮子轴心的运动速度矢量；

$\underset{V}{\rightarrow}_{r}$ 为轮子轴心沿垂直于 $\underset{r}{\rightarrow}$ 的方向（即切线方向)的速度分量；

如下图所示: （手动绘制部分不喜勿喷，怕个别小白不理解，专门增加该部分讲解）

那么可以计算出轮子中心速度： $\underset{V}{\rightarrow}$ = $\underset{V}{\rightarrow}_{t}$ + $\underset{V}{\rightarrow}_{r}$ = $\underset{V}{\rightarrow}_{t}$ + $\underset{W}{\rightarrow}$ x $\underset{r}{\rightarrow}$

分别计算几何中心X、Y 轴的分量为：

$V_{x}$ = $V_{tx}$ - $V_{rx}$

$V_{y}$ = $V_{ty}$ + $V_{ry}$

其中 $V_{rx}$ 、 $V_{ry}$ 表示为 $\underset{V}{\rightarrow}_{r}$ 在X轴、Y轴的速度数值分量， $V_{r}$ 表示 $\underset{V}{\rightarrow}_{r}$ 的值大小，不是向量

$r_{x}$ 与 $r_{y}$ 表示 r在 X轴、Y轴的投影长度，也就是两个轮子之间的水平距离（宽度）一半、垂直距离（长度）的一半

$V_{rx}$ = $V_{r}$ X cosθ = $V_{r}$ X $\frac{r_{y}}{r}$ = W x r X $\frac{r_{y}}{r}$ = $W*$ $r_{y}$

$V_{ry}$ = $V_{r}$ x sinθ = $V_{r}$ x $\frac{r_{x}}{r}$ = w x r x $\frac{r_{x}}{r}$ = $W*$ $r_{x}$

所以可求得几何中心X、Y轴速度数值（非向量）分别为：

$V_{x}$ = $V_{tx}$ - $V_{rx}$ = $V_{tx}$ - $W*$ $r_{y}$

$V_{y}$ = $V_{ty}$ + $V_{ry}$ = $V_{ty}$ + $W*$ $r_{x}$

同理可以算出其他三个轮子轴心的速度。

三、计算辊子的速度

根据轮子轴心的速度，可以分解出沿辊子方向的速度 $\underset{V_{||}}{\rightarrow}$ 和垂直于辊子方向的速度 $\underset{V_{\perp }}{\rightarrow}$ 。其中 $\underset{V_{\perp }}{\rightarrow}$ 是可以无视的（思考题：为什么垂直方向的速度可以无视？），而

$V_{||}$ = $\underset{V}{\rightarrow}$ * $\hat{u}$ 此处表示向量 $\underset{V}{\rightarrow}$ 点乘向量 $\hat{u}$ ，其中 $\hat{u}$ 是沿辊子方向的单位向量。这一步表示向量 $\underset{V}{\rightarrow}$ 在向量 $\hat{u}$ 上的投影，是数值大小，不是向量噢，这样就可以求得沿辊子方向的速度数值大小 $V_{||}$ 。例如向量a*b表示向量b在向量a上的投影 $a_{0}$ ，是一个长度单位，不是向量

向量几何知识了解参考 https://www.jianshu.com/p/6b37baa326ec

$\underset{V}{\rightarrow}$ = $\underset{V_{x}}{\rightarrow}$ + $\underset{V_{y}}{\rightarrow}$ ，其中 $\underset{V_{x}}{\rightarrow}$ 、 $\underset{V_{y}}{\rightarrow}$ 表示 $V_{x}$ 、 $V_{y}$ 的向量，上面我们求出来的是 $V_{x}$ 、 $V_{y}$ 的数值，那向量如何表示呢？

可以通过膜*单位方向向量实现，如下图所示，设X轴单位方向向量 $\underset{i}{\rightarrow}$ ，坐标就是(1,0)，Y轴单位方向向量 $\underset{j}{\rightarrow}$ ，坐标就是(0,1)，那么 $V_{x}$ 的方向向量就可以表示为 $V_{x}$ * $\underset{i}{\rightarrow}$ ， $V_{y}$ 的方向向量就可以表示为 $V_{y}$ * $\underset{j}{\rightarrow}$ ，且 $\underset{i}{\rightarrow}$ * $\underset{i}{\rightarrow}$ =1， $\underset{j}{\rightarrow}$ * $\underset{j}{\rightarrow}$ =1，原因是两个向量点乘结果是数值，不是向量噢

$\hat{u}$ 是单位向量，可以表示为（- $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ， $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ），或者 $\hat{u}$ = - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ * $\underset{i}{\rightarrow}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ * $\underset{j}{\rightarrow}$

$V_{||}$ = $\underset{V}{\rightarrow}$ * $\hat{u}$ =（ $V_{x}$ * $\underset{i}{\rightarrow}$ + $V_{y}$ * $\underset{j}{\rightarrow}$ ）*（- $\frac{1}{\sqrt{2}}$ * $\underset{i}{\rightarrow}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ * $\underset{j}{\rightarrow}$ ）

$V_{||}$ = - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ * $V_{x}$ * $\underset{i}{\rightarrow}$ * $\underset{i}{\rightarrow}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ * $V_{y}$ * $\underset{j}{\rightarrow}$ * $\underset{j}{\rightarrow}$ = - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ * $V_{x}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ * $V_{y}$

所以最终求得沿辊子方向的速度数值大小 $V_{||}$ = - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ * $V_{x}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ * $V_{y}$

四、计算轮子的速度

从与地面接触的辊子速度到轮子线转速的计算比较简单：原因是辊子与轮子夹角是45°，

$V_{v}$ = $\frac{V_{||}}{cos(45°)}$ =（ - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ * $V_{x}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ * $V_{y}$ ）* $\sqrt{2}$ = - $V_{x}$ + $V_{y}$

根据上面求出的 $V_{x}$ = $V_{tx}$ - $W*$ $r_{y}$ ， $V_{y}$ = $V_{ty}$ + $W*$ $r_{x}$ ，由此可得

$V_{v}$ =-（ $V_{tx}$ - $W*$ $r_{y}$ ）+ （ $V_{ty}$ + $W*$ $r_{x}$ ） = $V_{ty}$ - $V_{tx}$ + $W*$ ( $r_{x}$ + $r_{y}$ )

这样求出来的是轮子与地面接触的一点的线速度，如果要求轮子转速 $V_{w}$ (单位rpm），需要再除以轮子半径 $r_{r}$

$V_{w}$ = $\frac{V_{v}}{r_{r}}$ ，单位是弧度/秒，转化到rpm（转/分钟），需要30* $V_{w}$ /PI ,到此，轮子速度已经求出来啦

根据上图定义，可知 $r_{x}$ = a , $r_{y}$ = b，由此简化可得轮子线速度为：

$V_{v}$ = $V_{ty}$ - $V_{tx}$ + $W*$ $\left ( a+b \right )$

由此计算获得四个轮子线速度如下

$V_{v1}$ = $V_{ty}$ - $V_{tx}$ + $W*$ $\left ( a+b \right )$

$V_{v2}$ = $V_{ty}$ + $V_{tx}$ - $W*$ $\left ( a+b \right )$

$V_{v3}$ = $V_{ty}$ - $V_{tx}$ - $W*$ $\left ( a+b \right )$

$V_{v4}$ = $V_{ty}$ + $V_{tx}$ + $W*$ $\left ( a+b \right )$

以上方程组就是O-长方形麦轮底盘的逆运动学模型，而正运动学模型可以直接根据逆运动学模型中的三个方程解出来，此处不再赘述。

另一种计算方式

「传统」的推导过程虽然严谨，但还是比较繁琐的。这里介绍一种简单的逆运动学计算方式。

我们知道，全向移动底盘是一个纯线性系统，而刚体运动又可以线性分解为三个分量。那么只需要计算出麦轮底盘在「沿X轴平移」、「沿Y轴平移」、「绕几何中心自转」时，四个轮子的速度，就可以通过简单的加法，计算出这三种简单运动所合成的「平动+旋转」运动时所需要的四个轮子的转速。而这三种简单运动时，四个轮子的速度可以通过简单的测试，或是推动底盘观察现象得出。

当底盘沿着 X 轴平移时：

$V_{v1}$ = - $V_{tx}$

$V_{v2}$ = + $V_{tx}$

$V_{v3}$ = - $V_{tx}$

$V_{v4}$ = + $V_{tx}$

当底盘沿着 Y 轴平移时：

$V_{v1}$ = + $V_{ty}$

$V_{v2}$ = + $V_{ty}$

$V_{v3}$ = + $V_{ty}$

$V_{v4}$ = + $V_{ty}$

当底盘绕几何中心自转时：

$V_{v1}$ = + $W*$ $\left ( a+b \right )$

$V_{v2}$ = - $W*$ $\left ( a+b \right )$

$V_{v3}$ = - $W*$ $\left ( a+b \right )$

$V_{v4}$ = + $W*$ $\left ( a+b \right )$

将以上三个方程组相加，得到的恰好是根据「传统」方法计算出的结果。这种计算方式不仅适用于O-长方形的麦轮底盘，也适用于任何一种全向移动的机器人底盘。

Makeblock 麦轮底盘的组装

理论分析完成，可以开始尝试将其付诸实践了。

第一步，组装矩形框架。

第二步，组装电机模块。

由于麦轮底盘的四个轮子速度有约束关系，必须精确地控制每个轮子的速度，否则将会导致辊子与地面发生滑动摩擦，不仅会让底盘运动异常，还会让麦轮的寿命减少。所以必须使用编码电机。

第三步，将电机模块安装到框架上。

第四步，将麦轮安装到框架上。

第五步，安装电路板并接线。

编码电机必须配上相应的驱动板才能正常工作。这里使用的 Makeblock 编码电机驱动板，每一块板可以驱动两个电机。接线顺序在下文中会提及，也可以随意接上，在代码中定义好对应的顺序即可。

第六步，装上电池。

至此，一个能独立运行的麦轮底盘就完成了。

控制程序

根据麦轮的底盘的运动学模型，要完全控制它的运动，需要有三个控制量：X轴速度、Y轴速度、自转角速度。要产生这三个控制量，有很多种方法，本文将使用一个 USB 游戏手柄，左边的摇杆产生平移速度，右边的摇杆产生角速度。

首先将一个 USB Host 模块连接到 Orion 主板的 3 口。

。

然后插上一个无线 USB 游戏手柄。

然后再添加其他细节，就大功告成啦！

其他细节：

#include #include #include "MeOrion.h" MeUSBHost joypad(PORT_3); // 手柄代码（红灯亮模式） // 默认：128-127-128-127-15-0-0-128 // 左一：128-127-128-127-15-1-0-128 // 右一：128-127-128-127-15-2-0-128 // 左二：128-127-128-127-15-4-0-128 // 右二：128-127-128-127-15-8-0-128 // 三角：128-127-128-127-31-0-0-128 （0001 1111） // 方形：128-127-128-127-143-0-0-128 （1000 1111） // 叉号：128-127-128-127-79-0-0-128 （0100 1111） // 圆圈：128-127-128-127-47-0-0-128 （0010 1111） // 向上：128-127-128-127-0-0-0-128 （0000 0000） // 向下：128-127-128-127-4-0-0-128 （0000 0100） // 向左：128-127-128-127-6-0-0-128 （0000 0110） // 向右：128-127-128-127-2-0-0-128 （0000 0010） // 左上：128-127-128-127-7-0-0-128 （0000 0111） // 左下：128-127-128-127-5-0-0-128 （0000 0101） // 右上：128-127-128-127-1-0-0-128 （0000 0001） // 右下：128-127-128-127-3-0-0-128 （0000 0011） // 选择：128-127-128-127-15-16-0-128 // 开始：128-127-128-127-15-32-0-128 // 摇杆：右X-右Y-左X-左Y-15-0-0-128 MeEncoderMotor motor1(0x02, SLOT2); MeEncoderMotor motor2(0x02, SLOT1); MeEncoderMotor motor3(0x0A, SLOT2); MeEncoderMotor motor4(0x0A, SLOT1); // 底盘：a = 130mm, b = 120mm float linearSpeed = 100; float angularSpeed = 100; float maxLinearSpeed = 200; float maxAngularSpeed = 200; float minLinearSpeed = 30; float minAngularSpeed = 30; void setup() { // 要上电才能工作，不能只是插上 USB 线来调试。 motor1.begin(); motor2.begin(); motor3.begin(); motor4.begin(); Serial.begin(57600); joypad.init(USB1_0); } void loop() { Serial.println("loop:"); //setEachMotorSpeed(100, 50, 50, 100); if(!joypad.device_online) { // 若一直输出离线状态，重新拔插 USB Host 的 RJ25 线试一下。 Serial.println("Device offline."); joypad.probeDevice(); delay(1000); } else { int len = joypad.host_recv(); parseJoystick(joypad.RECV_BUFFER); delay(5); } //delay(500); } void setEachMotorSpeed(float speed1, float speed2, float speed3, float speed4) { motor1.runSpeed(speed1); motor2.runSpeed(-speed2); motor3.runSpeed(-speed3); motor4.runSpeed(-speed4); } void parseJoystick(unsigned char *buf) //Analytic function, print 8 bytes from USB Host { // 输出手柄的数据，调试用 // int i = 0; // for(i = 0; i < 7; i++) // { // Serial.print(buf[i]); //It won't work if you connect to the Makeblock Orion. // Serial.print('-'); // } // Serial.println(buf[7]); // delay(10); // 速度增减 switch (buf[5]) { case 1: linearSpeed += 5; if (linearSpeed > maxLinearSpeed) { linearSpeed = maxLinearSpeed; } break; case 2: angularSpeed += 5; if (angularSpeed > maxAngularSpeed) { angularSpeed = maxAngularSpeed; } break; case 4: linearSpeed -= 5; if (linearSpeed < minLinearSpeed) { linearSpeed = minLinearSpeed; } break; case 8: angularSpeed -= 5; if (angularSpeed < minAngularSpeed) { angularSpeed = minAngularSpeed; } break; default: break; } if ((128 != buf[0]) || (127 != buf[1]) || (128 != buf[2]) || (127 != buf[3])) { // 处理摇杆 float x = ((float)(buf[2]) - 127) / 128; float y = (127 - (float)(buf[3])) / 128; float a = (127 - (float)(buf[0])) / 128; mecanumRun(x * linearSpeed, y * linearSpeed, a * angularSpeed); } else { switch (buf[4]) { case 0: mecanumRun(0, linearSpeed, 0); break; case 4: mecanumRun(0, -linearSpeed, 0); break; case 6: mecanumRun(-linearSpeed, 0, 0); break; case 2: mecanumRun(linearSpeed, 0, 0); break; case 7: mecanumRun(-linearSpeed/2, linearSpeed/2, 0); break; case 5: mecanumRun(-linearSpeed/2, -linearSpeed/2, 0); break; case 1: mecanumRun(linearSpeed/2, linearSpeed/2, 0); break; case 3: mecanumRun(linearSpeed/2, -linearSpeed/2, 0); break; default: mecanumRun(0, 0, 0); break; } } } void mecanumRun(float xSpeed, float ySpeed, float aSpeed) { float speed1 = ySpeed - xSpeed + aSpeed; float speed2 = ySpeed + xSpeed - aSpeed; float speed3 = ySpeed - xSpeed - aSpeed; float speed4 = ySpeed + xSpeed + aSpeed; float max = speed1; if (max < speed2) max = speed2; if (max < speed3) max = speed3; if (max < speed4) max = speed4; if (max > maxLinearSpeed) { speed1 = speed1 / max * maxLinearSpeed; speed2 = speed2 / max * maxLinearSpeed; speed3 = speed3 / max * maxLinearSpeed; speed4 = speed4 / max * maxLinearSpeed; } setEachMotorSpeed(speed1, speed2, speed3, speed4); }

Makeblock 麦克纳姆轮全向移动机器人

PS：答疑

1. 这轮子这么灵活，为啥不都装成麦克纳姆轮呢，多方便啊

答：1. 如果上面的算法你掌握了，那么就明白所有的理论计算都是基于小车轮子在一个平面的，那么如果有悬挂的，或者地面不平坦的时候，很明显计算过程中的速度会有偏差，就会导致你的小车底盘跑的不准、不直，如果你因此计算里程计就更差了。2. 效率上不行，为啥呢？记得上面那个问题吗？棍子垂直方向的速度不考虑，为啥？因为这个速度主要用于棍子自转，对小车运行没有影响，那这就势必造成了能量浪费（相比普通轮子），所以效率就降低了。3 .因为结构特性原因，不利于爬坡、越障，所以比较适合于平地使用，大大限制了应用场景

2. 程序中为啥有速度反向

因为电机运行方向的原因

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一文读懂麦克纳姆轮全向移动原理及剖析

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