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第六章 平面向量及其应用（单元测试题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知＝(3，0)，那么||等于(　　)A．2　 B．3　C．(1，2)　 D．52.若＝(－1，2)，＝(1，－1)，则＝(　　)A．(－2，3)　 B．(0，1)C．(－1，2)　 D．(2，－3)3.已知向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，a⊥b，则实数k的值为(　　)A.－　 B．C．6　 D．24.向量|a|＝，|b|＝2，向量a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　)A．3 B．－3C．－3 D．35.在△ABC中，若2－2＝·，则△ABC是(　　)A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝15，b＝18，A＝30°，则此三角形解的个数为(　　)A．0 B．1C．2 D．不能确定7.在△ABC中，H为垂心，＋2＋3＝0，则A＝(　　)A． B．C． D．8.若M为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)A．等腰三角形　 B．直角三角形C．正三角形　 D．等腰直角三角形二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.以下关于正弦定理或其变形正确的有(　　)A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin CB．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝bC．在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件D．在△ABC中，＝10.在△ABC中，下列说法正确的是(　　)A．若A＞B，则|cos B|＞|cos A|B．若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形．C．等式a＝bcos C＋ccos B恒成立D．若A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝1∶1∶11.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列说法正确的有(　　)A．a在b方向上的投影为 B．与a同向的单位向量是C．〈a，b〉＝ D．a与b平行12.已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为，则下列结论正确的是(　　)A．e1，e2的夹角是 B．e1，e2的夹角是或C．|e1＋e2|＝1或 D．|e1＋e2|＝1或三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________14.已知两灯塔A、B与观测点C的距离都等于a km，灯塔A在观测点C的北偏东20°，灯塔B在观测点C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为________km.15.在△ABC中，AB＝AC＝，2＝3，2＝，·＝，则BC＝________，延长DF交AC于点E，点P在边BC上，则·的最小值为________△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0，b＝3，△ABC的周长为3＋2，则△ABC的面积是________四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知＝(－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥.(1)求实数n的值；(2)若⊥，求实数m的值．18.已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.(1)求|b|；(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．19.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知bsin A＝asin.(1)求角B的大小；(2)求的取值范围．20.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.(1)用a，b表示向量，，，，；(2)求证：B，E，F三点共线．21.如图，已知四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝1，BC＝3，AD＝CD＝2.(1)求AC长；(2)求四边形ABCD的面积．22.在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径为.再从①m＝，n＝(a＋b，c)，m·n＝b2；②cos C＝－；③△ABC的面积为S满足a2＋c2＝S＋b2这三个条件中任选一个补充在问题中，并解答．(1)求角B；(2)求△ABC周长的最大值．参考答案：选择题：1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B　 8.A　二、选择题9.ACD　解析：对于A，由正弦定理，＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故正确；对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得sin A＞sin B a＞b A＞B，因此A＞B是sin A＞sin B的充要条件，正确；对于D，由正弦定理＝＝＝2R，可得右边＝＝＝2R＝左边，故正确．故选ACD．10.ACD　解析：选项A中，因为y＝cos x在(0，180°)上是递减函数，当90°≥A＞B＞0时，0≤cos A＜cos B＜1，则|cos B|＞|cos A|成立，当180°＞A＞90°＞B时，－1＜cos A＜0＜cos B，则|cos B|＞|cos A|成立，故A正确；选项B中，若a＝5，b＝4，c＝3，则a2＋b2＞c2，△ABC为直角三角形，故B错误；选项C中，对任意的△ABC都有＝＝＝2R，则a＝2Rsin A＝2Rsin(B＋C)＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B＝bcos C＋ccos B，故C正确；选项D中，设A＝t，则B＝t，C＝4t，则t＋t＋4t＝6t＝180°，∴t＝30°，则A＝B＝30°，C＝120°，∴sin A∶sin B∶sin C＝∶∶＝1∶1∶，∴a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶，故D正确．故选ACD．11.ABC　解析：∵向量a在b方向上的投影为＝＝，∴A正确；∵与向量a同向的单位向量为＝(3，－1)＝，∴B正确；∵cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝，∴C正确；∵3×(－2)≠－1×1，∴a，b不平行，∴D错误．故选ABC．12.BC　解析：∵e1，e2是两个单位向量，且|e1＋λe2|的最小值为，∴(e1＋λe2)2的最小值为.设e1，e2的夹角为θ，(e1＋λe2)2＝λ2＋2λcos θ＋1＝(λ＋cos θ)2＋1－cos2θ，∴1－cos2θ＝，则e1与e2的夹角为或.∴|e1＋e2|2＝1或3，则|e1＋e2|＝1或.故选BC．填空题13.答案：　解析：＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.14.答案：a　解析：由图可知∠ACB＝120°，由余弦定理得cos∠ACB＝＝＝－，则AB＝a(km)．15.答案：，－　解析：由2＝3，可得＝＋＝＋3，由2＝，可得＝＋＝＋，·＝(3－)·＝2＋·－2＝×3－3＋××cos A＝，则cos A＝.∴BC＝.如图建立平面直角坐标系，可得B，C，A，设P(x，0)，－≤x≤.∵2＝，∴CF∥AD，CF＝AD，∴C为AE中点，∴＝2，∴＝＋＝＋3＝＋3＝，＝＋＝＋2＝＋2＝，·＝·＝·＋(－3)×＝x2＋x＝－.∵－≤x≤，∴x＝－时，·最小，最小值为－.16.答案：　解析：已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0，则(sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0，整理得sin Acos B＋cos A·sin B＋2sin Ccos B＝0，解得cos B＝－.由于0＜B＜π，所以B＝.因为△ABC的周长为3＋2，则a＋b＋c＝3＋2，由于b＝3，则a＋c＝2.由于b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B，解得ac＝3.故S△ABC＝acsin B＝.解答题：17.解：因为＝(－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)，所以＝＋＋＝(3，3＋m＋n)．(1)因为∥，所以＝λ，即解得n＝－3.(2)因为＝＋＝(2，3＋m)，＝＋＝(4，m－3)，又⊥，所以·＝0，即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1.18.解：(1)根据条件，(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝1－b2＝，∴b2＝.|b|＝.(2)∵a·b＝－，∴a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1－＝，|a＋2b|＝＝＝1cos θ＝＝＝.θ∈[0，π]，∴θ＝.19.解：(1)∵bsin A＝asin ，∴sin Bsin A＝sin A.又sin A≠0，化为sin B－cos B＝0，∴tan B＝.又B∈(0，π)，解得B＝.(2)由(1)可得A＋C＝π－B＝，又△ABC为锐角三角形，∴0＜C＝－A＜，0＜A＜.∴＜A＜.∴＝＝＝＝＋∈.∴的取值范围是.20.(1)解：延长AD到G，使＝，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)可知＝，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线．21.解：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，①在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos D．②又∠B＋∠D＝180°，所以cos B＝－cos D，所以解得cos B＝，AC＝.(2)因为sin D＝sin B＝＝＝，所以四边形ABCD的面积S＝AB·BCsin B＋AD·CDsin D＝×1×3×＋×2×2×＝2.22．解：(1)选①：m＝，n＝(a＋b，c)，m·n＝b2，得a(a＋b)＋·c＝b2，整理，得a2＋c2－ac＝b2，＝，∴cos B＝，∴B＝.选②：由cos C＝－得＝，整理，得a2＋c2－b2＝ac，即＝，∴cos B＝，∴B＝.选③：a2＋c2－b2＝×acsin B，即cos B＝sin B，∴tan B＝，∴B＝.(2)由＝2R，得b＝2，由余弦定理得：a2＋c2－b2＝ac，即(a＋c)2－22＝3ac≤3，∴2＜a＋c≤4，当且仅当a＝c＝2时取等号，从而周长l＝a＋b＋c≤6，∴△ABC周长的最大值为6.

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