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中小学教育资源及组卷应用平台中小学教育资源及组卷应用平台2024年九年级中考数学专题复习：实际问题与二次函数（抛物线型问题）一、单选题1．如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高与投掷距离之间的函数关系满足，则该同学掷实心球的成绩是（ ）A． B． C． D．2．如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系．则小球从飞出到落地瞬间所需要的时间为（ ）A．2秒 B．3秒 C．4秒 D．5秒3．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（ ）A．2 B． C． D．4．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）

A． B． C． D．5．山西刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差，与锅的水平距离，锅的半径m．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线，要使其落入锅中(铝的厚度忽略不计)，则其水平初速度不可能为(　　)(提示：，，水平移动距离)

A．m/s B．m/s C．m/s D．m/s6．中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（ ）A． B．C． D．7．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8米的C，D两处安装警示灯，则警示灯D距离水面的距离为（ ）A．米 B．米 C．米 D．米8．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（ ）A． B． C． D．二、填空题9．某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为12米，水面与桥拱顶的高度为 米．10．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m时，水面宽4m，当水面下降2m时，水面的宽度为 m．11．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒） ．12．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 则铅球被推出的水平距离为 m．13．在为期3天的广安市第五届运动会（青少年组）三人制篮球比赛中，某同学进行了一次投篮，篮球准确落入篮框内，建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的运行轨迹可看作抛物线的一部分，则篮球在空中运行的最大高度为 ．14．如图，某幢建筑物从米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离是 ．15．如图，在斜坡底部点处设置一个可移动的自动喷水装置，喷水装置的高度为1.4米，喷水装置从点喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为6米时，达到最大高度5米．以点为原点，喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．斜坡上距离水平距离为8米处有一棵高度为2米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为2.1米．如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，则自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左平移） 米．16．从喷水池喷头喷出的水珠在空中形成一条抛物线．如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度与它距离喷头的水平距离之间满足函数关系式，则喷出水珠的最大高度是 ．三、解答题17．拱桥是指由拱形结构成的桥梁，它是中国古代建筑中的重要形式之一，在中国的古代建筑史上占据着重要的地位，因其独特的结构和精美的外观而受到广泛的赞誉和喜爱．图1是一座拱桥，此拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为时，水面离桥洞的最大距离为，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系(1)求该抛物线的解析式；(2)当河水上涨，水面离桥洞的最大距离为3m时，求拱桥内水面的宽度．18．如图，一名篮球运动员在距离篮球框中心A点（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面．

(1)求该篮球的运行路线（抛物线）的表达式；(2)求出篮球在该运动员出手时的高度．19．运动员高台跳水，若把整个身体看成一点，则运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．如图，运动员从起跳点到达最大高度点，此时起跳点与最大高度点的水平距离，最大高度点与水面的距离，最后到入水点．已知跳台高，根据已建的平面直角坐标系，解答下列问题：(1)求y关于x的函数表达式；(2)求运动员从起跳点A到入水点D的水平距离．20．如图1，某喷泉公司生产的可升降式喷头，喷出的水柱形状呈抛物线，如图2，以圆形水池中心O为原点，水平方向为轴，坚直方向为轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头的坐标为．(1)当水柱满足到水池中心水平距离为3米时，即时，水柱达到最大高度5米，求第一象限内水柱的函数表达式；(2)若圆形水池的半径为7米，在（1）的条件下喷出的水柱是否会落在水池外（不考虑水柱落到水面后造成的迸溅），请通过计算说明．中小学教育资源及组卷应用平台中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)参考答案：1．C【分析】当铅球落地时，高度，代入，求值即可，本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是：函数取值与实际问题之间的关系．【详解】当时，，解得：（舍），，该同学掷实心球的成绩是，故选：．2．C【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练地解一元二次方程．令，解方程求即可．【详解】解：令，则，解得（舍去），，小球从飞出到落地要用．故选：C．3．D【分析】本题考查二次函数的实际应用，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长．【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示：则：，设抛物线的解析式为，将代入，得：，∴，当时，，∴高度为；故选D．4．B【分析】该题主要考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标；设解析式为由题意得到顶点坐标及与轴交点的坐标，代入求解即可得到抛物线解析式；令，代入求解即可得到答案；【详解】选择图2中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式，由题意，得抛物线的顶点坐标为，设抛物线对应的函数关系式为6，将点代入，得，解得，∴抛物线对应的函数关系式为，当时，，∴点的纵坐标为；则的高度是，故选：B．5．D【分析】本题考查二次函数的应用，根据高度求出运动时间，结合水平移动的范围求出运动的初速度范围，从而确定速度的大小．【详解】解：∵，∴(s)，∵，根据，可得最小速度为：(m/s)，最大速度为：(m/s)，由此可知，选项A，B，C在此范围内，不符合题意，选项D．m/s不在此范围内，符合题意，故选：D．6．D【分析】根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．本题主要考查了求抛物线的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式．【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为，∴，，设抛物线的表达式为，把代入得：，把代入得：，解得：，∴抛物线表达式为，故选：D．7．B【分析】本题主要考查的是二次函数在实际生活中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据性质求出与轴的交点，即可得到答案．【详解】解：依题意，的横坐标为，令，即，故选B．8．B【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便．先求出点A和点B的坐标，则设该抛物线解析式为，再求出点D的坐标，将其代入，求出a的值，得出函数解析式，最后求出当时的函数值，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，设该抛物线解析式为，∵，，∴，则，把代入得：，解得：，∴抛物线解析式为：，当时，，∴门高为，故选：B．9．2【分析】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．根据题意，根据函数的对称性，即把直接代入解析式即可解答．【详解】解：根据题意B的横坐标为，把代入得，∴，即水面与桥拱顶的高度等于.故答案为：210．4【分析】本题考查了二次函数在拱桥问题中的应用，建立恰当的平面直角坐标系设抛物线的解析式为（），由已知条件得在函数图象上，代入求解可求出函数关系式，求当时对应两点之间的距离，即可求解；建立恰当的平面直角坐标系，理解自变量和因变量的实际意义是解题的关键.【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系：设抛物线的解析式为（），把点代入得：，解得：，，当时，，解得：，，，当水面下降2时，水面的宽度为．故答案为：．11．【分析】此题考查了求二次函数自变量的值，根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案．【详解】解：球弹起后又回到地面时，即，解得（不合题意，舍去），，∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2，故答案为：．12．9【分析】本题主要考查了二次函数的应用．依据题意，令，得到关于的方程，解方程即可得出结论．【详解】解：令，则，解得：或（不合题意，舍去），，．故答案为：9．13．3.6//【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．将抛物线解析式转化为顶点式，即可获得答案．【详解】解：∵，∴当时，取最大值，最大值为，即篮球在空中运行的最大高度为．故答案为：3.6．14．/米【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，理解图示，设二次函数的解析式为，运用待定系数法求解析式，再将点的纵坐标为代入解析式即可求解，掌握二次函数顶点式的运用是解题的关键．【详解】解：根据题意可得，，顶点坐标，∴设抛物线的解析式为，把点代入得，，解得，，∴抛物线的解析式为：，根据题意，点的纵坐标为，∴，解得，，（不符合题意，舍去），∴，∴，故答案为：．15．1【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式和二次函数的平移，根据题意设抛物线解析式为，将喷水装置的坐标代入得，设抛物线向左平移m各单位，并将点代入即可求得答案．【详解】解：根据喷射出的水流与喷水装置的水平距离为6米时，达到最大高度5米，设抛物线解析式为，∵喷水装置的高度为1.4米，∴将点代入得，解得，则抛物线解析式为：，设抛物线向左平移m各单位，得，根据题意得点，代入得，解得，（舍去），则抛物线向左平移1各单位．故答案为：1．16．3【分析】本题主要考查二次函数的应用；把二次函数化为顶点式，进而即可求解．【详解】解：∵，∴当时，，故答案为：．17．(1)(2)m【分析】（1）本题考查二次函数的应用，根据题意得到函数过及顶点，设出解析式代入求出系数即可得到答案；（2）本题考查二次函数的应用，根据水位得到，代入求解即可得到答案；【详解】（1）解：∵ ，∴该抛物线的对称轴为直线，，∵水面离桥洞的最大距离为，∴该抛物线的顶点坐标为，设该抛物线的解析式为，把代入，得，解得，∴该抛物线的解析式为；（2）解：由题意可得，，水位上升了，把代入，得，解得，，水面宽为，答：拱桥内水面的宽度为．18．(1)(2)篮球在该运动员出手时的高度是2.25米【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键．（1）根据题意设出抛物线的解析式为：，将点A的坐标代入，即可求出解析式；（2）将点C的横坐标代入，即可得出结论．【详解】（1）根据题意得：，，点C的横坐标为，设抛物线的表达式为，把点代入得：，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）解：令，则，∴篮球在该运动员出手时的高度是2.25米．19．(1)函数表达式为；(2)【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题关键．（1）依据题意，观察图象可得，顶点，从而可设关于的函数表达式为，进而列式计算求出可以得解；（2）依据题意，对于函数，令，可得，从而求出，，进而可以得解．【详解】（1）解：由题意得，，顶点．可设关于的函数表达式为．又函数过，．．所求函数表达式为；（2）解：由题意，对于函数，令，．．．．20．(1)；(2)喷出的水柱不会落在水池外，计算见解析．【分析】本题考查二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键，（1）由题意得抛物线的顶点坐标为，点，设抛物线的解析式为，待定系数法求出解析式即可；（2）令，解方程求出的值与7比较即可．【详解】（1）解：由题意，设第一象限内水柱的函数表达式为，把点的坐标代入函数表达式，得，解得，，即，（2）解：由题意，令解方程得：，（不合题意，舍去），．∵，∴，．∴喷出的水柱不会落在水池外．21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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