最为精彩的是附录于首章的勾股圆方图，短短500余字，概括了《周髀算经》、《九章算术》以来中国人关于勾股算术的成就，其中包含了：

勾股定理(这里以a，b，c分别代表直角三角形的勾、股、弦三边之长)a⊃2;+b⊃2;=C⊃2;。

及其变形

b⊃2;=c⊃2;-a⊃2;=(c-a)(c+a)

a⊃2;=c⊃2;-b⊃2;=(c-b)(c+b)

c⊃2;=2ab+(b-a)⊃2;

有通过开带从平方

a^2+(b-a)a=1/2[c⊃2;-(b-a)⊃2;]求勾a

开平方a=[c⊃2;-(c⊃2;-a⊃2;)]^1/2求勾a

开带从平方(c-a)⊃2;+2a(c-a)=c⊃2;-a⊃2;求勾弦差c-a的方法，以及：

c=(c-a)+a

c+a=b^2/(c-1)

c-a=b^2/(c+a)

c=[(c=a)^2+b^2]/2(c+a)

a=[(c+a)^2-b^2]/2(c+a)

等公式

与上述公式对称，也有求b, c-b, c+b及由c-b, c+b求c, b的公式，又有由勾弦差、股弦差求勾、股、弦的公式：

a=[2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-b)

b=[2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-a)

c=[(2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-b) + (c-a)

以及勾股差b—a与勾股并b+a的关系式

(a+b)^2=2c^2—(b-a)^2

a+b=[2c^2-(b-a)^2]^1/2

b-a=[2c^2-(b+a)^2]^1/2

进而由此给出了求a,b的公式b=1/2[(a+b)+(b-a)], a=1/2[(a+b)-(b-a)]，最后给出了由弦与勾（或股）表示的股(或勾)弦并与股(或勾)弦差之差：

(c+b)-(c-b)=[(2c)^2-4a^2]^1/2

(c+a)-(c-a)=[(2c)^2-4b^2]^1/2

赵爽用出入相补方法对上述公式作了证明。这些公式大都与《九章算术》及其刘徽注所阐述的相同，证明方法也类似，只是最后两个公式为刘徽注所没有，所用术语也与刘徽稍异。可见，这些知识是汉魏时期数学家们的共识。《畴人传》说勾股圆方图注“五百余言耳，而后人数千言所不能详者，皆包蕴无遗，精深简括，诚算氏之最也”。

赵爽在《周髀算经》注中给出的《勾股圆方图注》是勾股定理最早的证明。赵爽是利用割补法证明了勾股定理的。他画了一张“弦图”，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个小正方形叫“中黄实”，以弦为边的正方形ABEF叫“弦实”。由于四个朱实加上一个中黄实就等于弦实，赵爽就是这样利用割补法证明了勾股定理所以有下式成立：即定a2＋b2＝c2。

作“勾股圆方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。如图考虑以一直角三角形的勾和股为边的两个正方形的合并图形，其面积应有a2 + b2 。如果将这合并图形所含的两个三角形移补到图中所示的位置，将得到一个以原三角形之弦为边的正方形，其面积应为c2， 因此a2 + b2 = c2。

赵爽这一简洁优美的证明，可以看作是对《周髀算经》中紧接在“勾三股四弦五” 特例之后的一段说明文字的诠释，《周髀算经》的这段文字说：“既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩”。

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的……十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”

赵爽是中国古代最早对数学定理和公式进行证明与推导的数学家之一，他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，由于他取得的成就，在中国古代数学发展中占有重要地位。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。

赵爽在“勾股圆方图”说中还类似地证明了勾股定理的许多推论,，此外他还给出了一张“日高图”，是用面积出入相补的方法去证明《周髀算经》中的日高公式。用公元3世纪，三国时代的东吴数学家赵爽用非常优美的方法——弦图，证明了勾股定理。该图不仅代表了古代中国曾经为世界数学的发展做出过重要贡献，同时该图也反映了数学的简洁之美。

责任编辑丨丑灿

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