用三个例子来说明

我们从原始数据开始（还没分组的）……

59、65、61、62、53、55、60、 70、64、56、58、58、62、62、68、65、56、 59、68、61、67

求 平均值，大山把所有的数加起来，然后除以数的个数：

求 中位数，大山把数顺序排列，然后找在正中间的数。

中位数是第 11个数：

53, 55, 56, 56, 58, 58, 59, 59, 60, 61, 61, 62, 62, 62, 64, 65, 65, 67, 68, 68, 70

中位数 = 61 

求 众数，大山把数顺序排列，然后计算每一个数出现的次数。众数是出现最多的数（可以有多于一个众数）：

53、55、56、56、58、58、59、59、60、61、61、62、62、62、64、65、65、67、68、68、70

62 出现了三次，比其他的数多，所以 众数 = 62

接下来，大山做了一个 分组频数表：

2个赛跑者的时间是在 51 和 55秒之间，7个的时间实在 56 和 60秒之间……

刹时间原来的数据全部都没有了（顽皮的小狗！）

剩下的只有分组频数表……

……我们可以帮大山从分组频数表去求平均、中位数和众数吗？

答案是……不能。至少不能求精确的值。不过，我们可以求近似值。

哟个分组数据求平均值

剩下的数据只有：

我们可以用中点来估计平均。

怎样做？

在 56 - 60 组里的 7个赛跑者的时间是在 56 和 60秒之间：

所以我们就取个平衡，假设七个赛跑者的时间都是 58秒。

我们用中点来做个表：

我们的假设是："2个人跑了 53秒、7个人跑了 58秒、8个人跑了 63秒、3个人跑了 68秒"。换句话说，我们想象数据是这样的：

53、53、58、58、58、58、58、58、58、63、63、63、63、63、63、63、63、68、68、68、68

然后我们把全部的数加起来，再除以 21（总共有 21个数）。最快的做法是把每个中点乘以相对的频数：

平均赛跑时间的近似值是：

与用原始数据求得的精确答案很接近。

我们再看看数据：

中位数是在正中的数，在这里是第 11个数，在 61 - 65 的组里：

我们可以说："中位组是 61 - 65"

但如果我们想估计一个中位数，我们要仔细看看 61 - 65 的组。

组是叫 "61 - 65"，但其实它可以从 60.5 到（但不包括） 65.5。

为什么？因为数据是测量到整数的秒数，所以如果真正时间是 60.5，这点便会被测量为 61。同样，65.4 会被测量为 65.

在 60.5 有 9个赛跑者，在下一个界限 65.5 有 17个赛跑者。在中间画一条直线，我们便可以看到 n/2 个赛跑者的中位数是：

可以用这个简单公式来计算：

其中：

在这个例子里：

再来看数据：

密集群组（最大频数的组）是 61 - 65

我们说："密集群组是 61 - 65"

但真正的众数可能根本不在这个组里！也可能有多于一个众数。没有原始数据我们不会知道。

可是，我们可以用这个公式来估计众数：

其中：

在这个例子里：

最后的结果是：

（你可以把这些值与上面用原始数据求得的平均、中位数和众数 61.38……、61 和 62 比较一下。）

这就是用分组数据去求平均、中位数和众数的近似值的做法。

我们现再来看两个例子，也多做一些练习！

例子：你在特种泥土里种了五十个小胡萝卜。你把它们挖出来，量度长度（到最近的 mm）， 然后把结果分组：

中位数是第 25 和 26个长度的平均，所以是在 170 - 174 的组里：

密集群组是最大频数的组，就是 175 - 179 的组：

年龄是个特别的频数。

如果我们说："莎莎是 17岁"，在她 18岁生日前，她一直都是 17岁。 她的年纪可能已经是 17年 364天，但我们仍然叫她 "17岁"。

因为这样，中点和组距都会有点改变。

例子：在一个热带岛屿上的 112个人的年龄分成以下的组别：

在 0 - 9 组里的小孩可能已经差不多 10岁，所以这个组的中点是 5，而 不是 4.5

中点是 5、15、25、35、45、55、65、75 和 85

同样，在求中位数和众数时，我们也会以组距为 0、10、20 等等

中位数是第 56 和 57个组的人的平均年龄，所以是在 20 - 29 的组里：

密集群组是最大频数的组，就是 20 - 29 的组：

如果只有分组数据，我们不能求精确的平均值、中位数和众数，我们只能求 近似值。

求平均的近似值，我们用组距的中点。

其中：

其中：