定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数 的图像上，则称这个矩形为 “ 奇特矩形 ” ．如图，在直角坐标系中，矩形 ABCD 是第一象限内的一个 “ 奇特矩形 ” ．且点 ， ，则 BC 的长为 ______ ．

答案

或 9

【解析】

【分析】

设 BC = m ，则 D 坐标为（ 4 ， 1+ m ）、 C （ 7 ， 1+ m ），然后分反比例函数图象经过 AB 和 CD 的三等分点和经过 AD 和 BC 的三等分点求出结果．

【详解】

解：设 BC = m ，则 D 坐标为（ 4 ， 1+ m ）、 C （ 7 ， 1+ m ），

因为反比例函数图象的一支在第一象限，故 k ＞ 0 ，

（ 1 ）当反比例函数图象经过 AB 和 CD 的三等分点时，

∵ k ＞ 0,

∴ 反比例函数经过（ 5, m +1 ）和（ 6,1 ） ,

∴ k =5 （ m +1 ） =6×1 ，

解得 m = ；

（ 2 ）当反比例函数图象经过 AD 和 BC 的三等分点时，

∵ k ＞ 0,

∴ 反比例函数经过（ 4,1+ ）和（ 7,1+ ） ,

∴ k =4 （ +1 ） =7× （ 1+ ），

解得 m =9 ；

故 BC 的长为 或 9 ；

故答案为 或 9 ．

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及定义新运算，解决问题的关键是正确分类解决问题．